Sea ABC un triángulo y P un punto que se mueve sobre la recta que contiene al lado BC. Consideremos M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P sobre los lado AB y AC respectivamente. Encuentra el punto P para el cual MN tiene longitud mínima.
Sugerencia
Sugerencia:
Observa que el cuadrilátero AMPN es cíclico y de diámetro AP.
Usa la ley de los senos para encontrar una relación entre AP y MN.
Solución
Solución:
Haciendo uso de la sugerencia; la ley de los senos aplicada al triángulo $AMN$ implica
$$\frac{MN}{sen(\ang MAN )} = AP$$
Ya que $AP$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo $AMN$. Observemos que $\ang MAN = \ang A$, donde $\ang A$ representa el ángulo en $A$ del triángulo $ ABC $.
Entonces, despejando $MN$ de la ecuación de arriba, llegamos a que:
$$MN = AP \cdot sen(\ang A )$$
Esto implica que, para minimizar MN, se basta con minimizar $ AP$. Bueno, pero el punto donde se minimiza la distancia $AP$, es cuando se alcanza la distancia mínima entre $A$ y la recta $BC$ (pues la condición señalaba que $P$ se mueve sobre la recta $BC$); es decir, en el pié de la perpendicular trazada desde $A$ sobre $BC$.
