Longitud Mínima

Haciendo uso de la sugerencia; la ley de los senos aplicada al triángulo $AMN$ implica 

$$\frac{MN}{sen(\ang MAN )} = AP$$

Ya que $AP$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo $AMN$. Observemos que $\ang MAN = \ang A$, donde $\ang A$ representa el ángulo en $A$ del triángulo $ABC$.

Entonces, despejando $MN$ de la ecuación de arriba, llegamos a que:

$$MN = AP \cdot sen(\ang A )$$

Esto implica que, para minimizar MN, se basta con minimizar $AP$. Bueno, pero el punto donde se minimiza la distancia $AP$, es cuando se alcanza la distancia mínima entre $A$ y  la recta $BC$ (pues la condición señalaba que $P$ se mueve sobre la recta $BC$); es decir, en el pié de la perpendicular trazada desde $A$ sobre $BC$.