Longitud mínima - caso particular

Por: Edgar A Reyes Cruz

El problema dice que $P$ es un punto móvil sobre la hipotenusa, y que $J$ e $I$ son los pies de las perpendiculares que bajan a los catetos $AB$ y $AC$. Con cualquier $P$, tenemos que el cuadrilátero $AJPI$ es un rectángulo, pues el ángulo $A$ es recto, $JP$ es perpendicular al cateto. Por tanto tiene ángulo recto (de igual forma para $IP$); entonces el ángulo $JPI$ también es recto.

 

Luego, como $AJPI$ es rectángulo, sus diagonales son iguales, es decir, $IJ=AP$.

 

Como la distancia más corta entre la hipotenusa y el vértice $A$ es

la perpendicular que pasa por $A$, tenemos que el $AP$ más corto es la altura del triángulo respecto al vértice $A$. Y como $IJ=AP$, se concluye que el menor $IJ$ es cuando $P$ es la base de la altura respecto a la hipotenusa.