El lugar geométrico de la reflexión de un punto

Sean $M'$ y $N'$ las otras intersecciones de las rectas $PM y PN$ con $\mathcal{C}$, respectivamente.
Así tambien, sean $ R$ y $S$ a las otras intersecciones de $P'N$ y $P'M$ con $\mathcal{C}$ respectivamente. La figura se verá algo así:

Nuestro primer objetivo será demostrar que $\triangle SP'R \cong \triangle N'PM'$.

Demostración de la congruencia.

Por la potencia de $P'$ respecto a $\mathcal{C}$ se llega a que $P'S \cdot P'N = P'M \cdot P'R$, es decir,

$$\frac{P'S}{P'M} = \frac{P'R}{P'N} $$

Y por construcción, $\measuredangle SP'R = \measuredangle MP'N$. En consecuencia, $$\triangle SP'R \sim \triangle MP'N \ldots (1)$$

Ahora bien, por la reflexión se tiene que:

$$\triangle MP'N \cong \trangle MPN \ldots (2)$$

Y por un argumento simliar al de potencias, pero ahora con $P$, se observa que:

$$\triangle MPN \sim \triangle N'PM' \ldots (3)$$

Usando (1), (2) y (3) se observa que $\triangle SP'R \sim \triangle N'PM' \ldots (3)$.

Falta entonces demostrar que los triángulos $\triangle SP'R$ y $\triangle N'PM'$ tienen alguno de sus lados correspondientes iguales, para así, terminar la prueba de la congruencia. Nosotros cumpliremos con este propósito demostrando que $RS = M'N'$. Para ello bastará con demostrar que  $\widehat{RS} = \widehat{M'N'}$.

$$\widehat{RS} = \widehat{RM}+\widehat{MS}$$
$$\hspace{0.5 cm} =\widehat{RN} - \widehat{MN} + \widehat{MS}$$
$$\hspace{0.5 cm} =\widehat{NM'} - \widehat{MN} + \widehat{N'M}$$
$$\hspace{0.5 cm} =\widehat{NM'}+ \widehat{N'M}- \widehat{MN} $$
$$\hspace{0.5 cm} =180^\circ- \widehat{MN} $$
$$\hspace{0.5 cm} =\widehat{MN}+ \widehat{M'N'}- \widehat{MN} $$
$$\hspace{0.5 cm} =\widehat{M'N'}$$

Lo que termina la prueba de la congruencia.

NOTA: En esta prueba se usa la notación $\widehat{XY}$ para denotar la medida del arco del círculo $\mathcal{C}$ que va de $ X$ a $ Y$ en sentido contrario a las manecillas del reloj.

 Descripción del lugar geométrico

Bueno, como $\triangle SP'R \cong \triangle N'PM'$ se tiene que $P'S = PN'$ y $P'R = PM'$. Como además, por la reflexión, se tiene que $P'N = PN$ y por lo tanto,

$$|P'S| \cdot |P'N| = |PN'| \cdot |P'N| = |PN'|\cdot |PN|$$

Esta igualdad nos dice que la potencia de $P$ y $P'$ respecto a $\mathcal{C}$ coinciden en valor absoluto.  Esto es,

$$P'O^2 -R^2 = R^2 -PO^2 \ldots (4)$$
donde $ O$ y $ R$ son el centro y el radio de $\mathcal{C}$.

Esto nos dice que $P'O^2 = 2R^2 -PO^2$, pero la parte de la derecha no depende de $ M$, por lo que $P'O$ es constante, en consecuencia, el lugar geométrico de los puntos $P'$ está sobre la circunferencia de radio $\sqrt{2R^2 -OP^2}$ y centro $O$.

El regreso

Algo que pocos alumnos entienden, y que cuesta mucho esfuerzo explicar, es porqué se debe demostrar "El regreso de los lugares geométricos". En nuestro caso, el regreso consiste en demostrar que si $Q$ es un punto en la circunferencia de radio $\sqrt{2R^2 -OP^2}$ y centro $ O$, entonces, existe un punto $ M$ sobre $\mathcal{C}$ tal que $P' = Q$. Pero esto lo dejaré para otra ocasión, por lo pronto les queda como ejercicio a lo s que les interese.