ONMAPS Tamaulipas 2014 - Problema 10

Vamos a demostrar que el triángulo MDL es isósceles. Para ello demostraremos DL=DM vía congruencia de triángulos.

Para aprovechar el dato de que D es punto medio de AB trazamos las paralelas por P a PA y PB, las cuales cortan, respectivamente, a PB y PA en sus puntos medios, digamos en F y E, formando el paralelogramo PEDF. Pero entonces LF y ME son medianas a la hipotenusa de los triángulos rectángulos PLB y PMA.

Llamemos x a la medida de los ángulos que por dato son iguales. Por mediana a la hipotenusa, los ángulos AME y FLB también miden x. Entonces, los ángulos PEM y PFL miden 2x (por ser exteriores).

Y como PEDF es paralelogramo, sus ángulos opuestos en E y F son iguales. Se concluye que los ángulos DEM y LFD son iguales. Finalmente, por las líneas medias, EM=FD y ED=FL. De aquí que (por el criterio LAL) los triángulos DEM y LFD son congruentes. Como se quería.