ONMAPS Tamaulipas 2014 - Problema 10

Enviado por jesus el 28 de Abril de 2014 - 09:11.

En el interior de un triángulo ABC se elige el punto P de tal manera que los ángulos PAC y PBC son iguales. Las perpendiculares desde P a BC y CA cortan estos lados en L y M, respectivamente. Si D es el punto medio de AB, demostrar que DL=DM.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

28 Abr 2014

Solución:

Vamos a demostrar que el triángulo MDL es isósceles. Para ello demostraremos DL=DM vía congruencia de triángulos.

Para aprovechar el dato de que D es punto medio de AB trazamos las paralelas por P a PA y PB, las cuales cortan, respectivamente, a PB y PA en sus puntos medios, digamos en F y E, formando el paralelogramo PEDF. Pero entonces LF y ME son medianas a la hipotenusa de los triángulos rectángulos PLB y PMA.

Llamemos x a la medida de los ángulos que por dato son iguales. Por mediana a la hipotenusa, los ángulos AME y FLB también miden x. Entonces, los ángulos PEM y PFL miden 2x (por ser exteriores).

Y como PEDF es paralelogramo, sus ángulos opuestos en E y F son iguales. Se concluye que los ángulos DEM y LFD son iguales. Finalmente, por las líneas medias, EM=FD y ED=FL. De aquí que (por el criterio LAL) los triángulos DEM y LFD son congruentes. Como se quería.

Ver también:

El difícil de la ONMAPS --Tamaulipas 2014

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Hola, otra solucion seria

Enviado por German Puga el 1 de Mayo de 2014 - 17:08.

Hola, otra solucion seria considerar puntos $m$ y $l$ tal que $L$ sea el punto medio de $Bl$ y de la misma manera $M$ con $Am$ por teorema de linea media tenemos que demostrar entonces que $Al$ = $Bm$ y esto se hace de la semejanza por LAL de los triangulos $APl$ y $mPB$ puesto que por la configuracion $PA=Pm$ y $Pl = PB$ y $\angle APl = \angle mPB$ .

Saludos

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