Otro de un cuadrado, dentro de otro cuadrado.

Por dato PR y QS son perpendiculares. De aquí que los cuadriláteros formados en las esquinas del cuadrado por los dos segmentos PR y QS son cíclicos. Por ejemplo, PDSO. Pero el ángulo PDO es de 45 (porque ABCD es cuadrado y DO es la mitad de una diagonal). De aquí que el ángulo PSO es también de 45.

De manera similar se demuestra que los restantes ángulos formados por los lados del cuadrilátero PQRS y sus diagonales PR y QS son de 45. Esto demuestra que este cuadrilátero es rectángulo.

Para ver que es un cuadrado basta con darnos cuenta de que sus diagonales y lados forman 4 triángulos isósceles rectángulos congruentes (por ejemplo, PSO). Y esto porque son semejantes (los tres ángulos correspondientemente iguales) y cada par de consecutivos comparten uno de los lados iguales (por ejemplo, PSO comparte el lado PO con el PQO y el lado SO con el RSO). De aquí que sus bases son también correspondientemente iguales. Es decir, PQ=QR=RS=SP. En otras palabras PQRS es un rectángulo con sus lados iguales. Un cuadrado. Lo que se quería.