Se tiene inscrito en una circunferencia un 3n-agono regular, donde sus vertices son $A_{1},A_{2},...,A_{3n}$ Si se coloca un punto $P$ de manera arbitraria sobre sobre la circunferencia, y desde $P$ se trazan todas las rectas posible hacia todos los puntos $A_{i}$. Demostrar que: la suma de las n rectas trazadas mas grande, es igual a la suma de las 2n rectas mas pequeñas.
Este fue un problema que me
Este fue un problema que me propuso Bernardo, diciendome que el y Casanova lo habian intentado y que les hechara una mano. La manera en que resolvi el problema me parecio bastante conocida (ya que yo conocia un resultado particular para un equilatero)... La manera de la solucion fue la siguiente.
1) Primero, es muy facil de ver que, los $n$ puntos a la derecha de $P$ y los $n$ puntos a la izquierda de $P$, en conjunto, forman las $2n$ rectas mas pequeñas. Pero y esoto que???...
2)Como en todo problema de olimpiada, cuando se pueda trabajar con un caso particular, lo recomendable es hacerlo, con suerte e ingenio asi sale una idea. En este caso, que mejor que $n=3$.
Para este caso tenemos un triangulo equilatero $A_1A_2A_3$ Sin perdida de generalidad coloquemos $P$ entre $A_1A_3$. Aplicando directamente el teorema de Ptolomeo, tenemos que:
$PA_2*A_1A_3=PA_1*A_2A_3+PA_3*A_1A_2$ dividiendo ambos lados, entre el lado del triangulo tenemos que:
$PA_2=PA_1+PA_3$ bien!!! acabamos de demostrar que para n=1 si se cumple!!!(se puede hacer esa parte sin Ptolomeo). Pero y eso que???... Como podemos aplicar Ptolomeo a un 3n-agono???, la respuesta es ya casi muy clara. No es necesario, ya tenemos lo que queriamos.
Lo mas dificil de ver es que... en nuestra figura( el 3n-agono)es que hay n triangulos equilateros!!!! los cuales estan de esta forma:
$A_iA_{n+i}A_{2n+i}$ donde $i=1,2,...,(n-1),n$ Y que ganamos con saber cuales son los n triangulos equilateros??? pues muy facil!!! del caso para el triangulo equilatero tendriamos que:
$PA_{n+i}=PA_i+PA_{2n+i}$ Donde $P$ esta entre $A_1A_{3n}$ para toda $i$
Y pues con eso ya terminamos!!!! no les queda claro??? Pues Escribamos nuestras n sumas(literalmente hablando...)
$PA_{n+1}=PA_1+PA_{2n+1}$
$PA_{n+2}=PA_2+PA_{2n+2}$
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$PA_{n+n-1}=PA_{n-1}+PA_{2n+n-1}$
$PA_{n+n}=PA_n+PA_{2n+n}$
Ahora bien, si somos observadores, las sumas del lado izquierdo son las n rectas mas grandes!!! y las del lado derecho son las 2n rectas mas chicas!!!
Y pues es evidente de ahi, que lo pedido si se cumple xD
Espero y la explicacion este clara, si no es asi es que estoy perdiendo el toque de redactaccion :( Saludos.
Muy padre problema y muy
Muy padre problema y muy padre solución. Gracias Brandon por compartirnos el problema.
A los olímpicos novatos me gustaría recordarles que este problema no es fácil, y la única manera de aprender a resolver problemas así de difíciles, es haciendo lo que hizo Brandon, resolver muchos otros y aprendiendo teoría.
Como ven, Brandon había resuelto con anterioridad el caso $n=1$, y eso fue pieza clave en la solución. De no haber hecho ese caso antes, a Brandon le habría costado más trabajo resolverlo (aunque no dudo que pudiera).
Saludos
Está bien bonito el problema
Está bien bonito el problema :D. No soy bueno para geometría, pero luego me quedo impactado con las demostraciones interesantes (como esta que das :D). Saludoz.