Teorema de Napoleón (exterior)

Enviado por jmd el 27 de Febrero de 2009 - 09:10.
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Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, entonces los centros X,Y,Z de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero XYZ, conocido como triángulo de Napoleón exterior. (Demostrarlo.)
 

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Imagen de Luis Brandon

La solucion seria como sigue,

Enviado por Luis Brandon el 16 de Abril de 2009 - 08:42.
La solucion seria como sigue, es claro que los circuncirculos de los triangulos equilateros tendran un punto en comun, sean A′,B′,C′los vertices faltantees de los triangulos equilateros donde A′ esta en la circunferencia de centro Y(tambien es claro que Y es el centro de la circunferencia circunscrita) de manera similar definimos B′yC′ llamemos P al punto de interseccion de las tres circunferencias. Tenemos que AP,BP y CP son los ejes radicales, ademas es facilver que XZ y XY son mediatrices de AP y BP, por consiguiente tenemos que ∠AXZ=∠ZXP y ∠BXY=∠YXP de ello conseguimos que 2∠ZXY=∠BXA=2∠BC′A=120 de ello tenemos que ∠ZXY=60 con un procedimiento similar(mas bien identico) definimos los otros dos angulos del triangulo de Napoleon, y el resultado es claro el triangulo es equilatero.
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