Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.
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Consideremos cuatro copias idénticas del triángulo rectángulo en cuestión. Y acomodémoslos para formar un cuadrado de lado $a+b$ como se muestra en la siguiente figura
Entonces, podemos calcular el área de dos formas:
1. El área del cuadrado es la medida de su lado al cuadrado: $$A=(a+b)^2$$
2. El área de este mismo cuadrado es igual a "cuatro veces el área del triángulo rectángulo" más "el área del cuadrado de en medio". $$A=4\frac{ab}{2} + c^2$$
Entonces, tenemos la siguiente igualdad:
$$ (a+b)^2= 4\frac{ab}{2} + c^2$$
Elevando al cuadrado y simplificando el lado derecho se obtiene:
$$a^2 + 2ab + b^2= 2ab + c^2$$
Al cancelar $2ab$ de ambos lados obtenemos la igualdad deseada:
$$a^2 + b^2=c^2$$
