Enviado por luisgerman el 27 de Abril de 2010 - 20:26.
Disculpen todos, pero pues este es el primer problema que subo a matetam, y como no pude hacer la figura(la hacia y cuando la pegaba no aparecia, jaja), entonces adjunte el archivo, aunque agradeceria de mucho si alguien me pudiera auxiliar en como poner la figura de manera de que aparezca con el problema.
Enviado por luisgerman el 28 de Abril de 2010 - 17:47.
Pues yo considere que si demostraba que el cuadrilatero ABCX era ciclico entonces el problema iba a estar casi terminado, porque puedo utilizar la propiedad de que los angulos opuestos de un ciclico suman 180°.
Le puse un valor de 1, a cada lado de los cuadrados, al hacer esto, puedo determinar cuanto mide cada lado, del cuadrilatero ABCX.
Tenemos que el segmento AB= raiz de 5 (por teorema de pitagoras, debido a el triangulo ABY es rectangulo, porque el angulo ABY=90°)
segmento AX= raiz de 2 (por el triangulo rectangulo AYX)
segmento XC= 1 (por ser un lado del cuadrado)
segmento BC= raiz de 10 (por el triangulo BZC)
el segmento BX= 3 (por ser 3 lados de los cuadrados)
el segmento AC= raiz de 5 (igual que el segmento AB)
Como sabemos cuanto miden las diagonales y la medida de los lados del cuadrilatero ABCX, tenemos que podemos demostrar si es ciclico utilizando el teorema de ptolomeo, que dice un cuadrilatero es ciclico si y solo si,
AC por BX= AB POR XC + AX POR BC
sustituyendo por sus valores:
raiz de 5 por 3= raiz de 5 por 1 + raiz de 2 por raiz de 10
pero raiz de 10= raiz de dos por raiz de 5
3 por raiz de 5= raiz de 5+ raiz de 2 por raiz de 2 por raiz de 5
pero raiz de 2 por raiz de 2= 2, por lo que
3 por raiz de 5= raiz de 5+ 2 por raiz de 5
sumando raiz de 5 + 2 por raiz de 5 obtenemos 3 por raiz de 5, por lo que la igualdad se cumple, asi que el cuadrilatero ABCX es ciclico.
Utilizando la propiedad de los ciclicos de que la suma de sus lados opuestos = 180°, tenemos que entonces el angulo CBA + el angulo AXC= 180°, pero el angulo AXC= angulo BXC + BAX, pero BXC = 90°(por ser el angulo de un cuadrado), y el angulo BAX= 45°, debido a que el triangulo AYX es un triangulo rectangulo isosceles, pues el segmento YX=AY, por ser lados de un cuadrado.
Por lo que el angulo AXC= 90°+45°=135°
Asi que el angulo CBA=180°-135°= 45°
Espero no tener errores, aunque si hice algo mal en el procedimiento o la solucion esta equivocada, pido que de favor me indiquen cual.
Enviado por kyaaaa el 28 de Abril de 2010 - 19:25.
Luis creo q te complicaste la vida... No crees q es mas facil simplemente decir el tringulo ABC es isosceles con angulo recto en A, por lo tanto el angulo CBA es de 45 grados.
Hola chicos (y gracias a Casanova por la participación y retroalimentación... ¿cuál fue el problema del 7?)
Bueno, pues aprovecho para comentar que en un examen nada es obvio o casi nada... Germán elige una estrategia de solución complicada (se complicó la vida como dice Casanova), pero le sirvió de práctica para aplicar los teoremas que ha estudiado...
La solución "obvia" es la que dice Casanova, aunque faltaría justificar que es isósceles rectángulo... pero eso es fácil gracias a la cuadrícula...
Y gracias a la cuadrícula también se puede encontrar el ángulo usando únicamente Pitágoras:
Viendo los lados CA y AB como diagonales de rectángulos, es claro que ambos miden $\sqrt{5}$ --por Pitágoras.
Viendo el lado BC como diagonal de un rectángulo, se ve que mide $\sqrt{10}$ --de nuevo por Pitágoras.
Pero entonces el triángulo ABC cumple el teorema de Pitágoras. Por lo tanto es rectángulo --recíproco de Pitágoras.
Pero antes ya habíamos demostrado que es isósceles. Por tanto es la mitad de un cuadrado, y el resultado se sigue.
Enviado por arbiter-117 el 28 de Abril de 2010 - 21:16.
ala te pasaste german solucion bien chida y fregona peroo super larga heheheh xd y en la que da el profee que sale de la de kyaa creo que tambien desir que los angulos que estan a lado son complementarios por lo de los dos triangulos congruentes que hay ahi no me acuerdo de los vertices si no les diria cuales xd y de ahi se saka que son 90 grados el otro angulo ii pos todo lo demas pero weno
Enviado por kyaaaa el 29 de Abril de 2010 - 13:20.
De nada prof. Y pues no sabia que era el IMATE hasta q puso el comentario y me puse a investigar, jeje, creo que seria una muy buena opcion para estudiar pero todavia me falta, porque son posgrados y maestrias... apenas estoy en la prepa.
Disculpen todos, pero pues
Disculpen todos, pero pues este es el primer problema que subo a matetam, y como no pude hacer la figura(la hacia y cuando la pegaba no aparecia, jaja), entonces adjunte el archivo, aunque agradeceria de mucho si alguien me pudiera auxiliar en como poner la figura de manera de que aparezca con el problema.
Att. Luis German Diaz Zuñiga
CBTis 105
Hola Luis German. Ya puse la
Hola Luis German.
Ya puse la figura, para el futuro te recomiendo leer el post ¿Cómo subir imágenes a MaTeTaM?.
Muchas gracias, para poder
Muchas gracias, para poder resolver el problema, le tuve que hacerle a la figura algunos trazos extra, y me quedo de la siguiente manera:
Pues yo considere que si
Pues yo considere que si demostraba que el cuadrilatero ABCX era ciclico entonces el problema iba a estar casi terminado, porque puedo utilizar la propiedad de que los angulos opuestos de un ciclico suman 180°.
Le puse un valor de 1, a cada lado de los cuadrados, al hacer esto, puedo determinar cuanto mide cada lado, del cuadrilatero ABCX.
Tenemos que el segmento AB= raiz de 5 (por teorema de pitagoras, debido a el triangulo ABY es rectangulo, porque el angulo ABY=90°)
segmento AX= raiz de 2 (por el triangulo rectangulo AYX)
segmento XC= 1 (por ser un lado del cuadrado)
segmento BC= raiz de 10 (por el triangulo BZC)
el segmento BX= 3 (por ser 3 lados de los cuadrados)
el segmento AC= raiz de 5 (igual que el segmento AB)
Como sabemos cuanto miden las diagonales y la medida de los lados del cuadrilatero ABCX, tenemos que podemos demostrar si es ciclico utilizando el teorema de ptolomeo, que dice un cuadrilatero es ciclico si y solo si,
AC por BX= AB POR XC + AX POR BC
sustituyendo por sus valores:
raiz de 5 por 3= raiz de 5 por 1 + raiz de 2 por raiz de 10
pero raiz de 10= raiz de dos por raiz de 5
3 por raiz de 5= raiz de 5+ raiz de 2 por raiz de 2 por raiz de 5
pero raiz de 2 por raiz de 2= 2, por lo que
3 por raiz de 5= raiz de 5+ 2 por raiz de 5
sumando raiz de 5 + 2 por raiz de 5 obtenemos 3 por raiz de 5, por lo que la igualdad se cumple, asi que el cuadrilatero ABCX es ciclico.
Utilizando la propiedad de los ciclicos de que la suma de sus lados opuestos = 180°, tenemos que entonces el angulo CBA + el angulo AXC= 180°, pero el angulo AXC= angulo BXC + BAX, pero BXC = 90°(por ser el angulo de un cuadrado), y el angulo BAX= 45°, debido a que el triangulo AYX es un triangulo rectangulo isosceles, pues el segmento YX=AY, por ser lados de un cuadrado.
Por lo que el angulo AXC= 90°+45°=135°
Asi que el angulo CBA=180°-135°= 45°
Espero no tener errores, aunque si hice algo mal en el procedimiento o la solucion esta equivocada, pido que de favor me indiquen cual.
Att. Luis German Diaz Zuñiga
CBTis 105
Luis creo q te complicaste la
Luis creo q te complicaste la vida... No crees q es mas facil simplemente decir el tringulo ABC es isosceles con angulo recto en A, por lo tanto el angulo CBA es de 45 grados.
Pero es una muy buena
Pero es una muy buena solucion alternativa :D eso que ni que jajajajaj
asi como la mia con analitica del 7 >:)
saludos germaain xd
jaja si me acuerdoo, pero
jaja si me acuerdoo,
pero pues te pusieron los 7 puntos, ;)
saludos...
att. Luis German Diaz Zuñiga
CBTis 105
nooo yo digo de este examen
nooo yo digo de este examen tambien jajajajaj el problema 7 del area :D!!!
Hola chicos (y gracias a
Hola chicos (y gracias a Casanova por la participación y retroalimentación... ¿cuál fue el problema del 7?)
Bueno, pues aprovecho para comentar que en un examen nada es obvio o casi nada... Germán elige una estrategia de solución complicada (se complicó la vida como dice Casanova), pero le sirvió de práctica para aplicar los teoremas que ha estudiado...
La solución "obvia" es la que dice Casanova, aunque faltaría justificar que es isósceles rectángulo... pero eso es fácil gracias a la cuadrícula...
Y gracias a la cuadrícula también se puede encontrar el ángulo usando únicamente Pitágoras:
Viendo los lados CA y AB como diagonales de rectángulos, es claro que ambos miden $\sqrt{5}$ --por Pitágoras.
Viendo el lado BC como diagonal de un rectángulo, se ve que mide $\sqrt{10}$ --de nuevo por Pitágoras.
Pero entonces el triángulo ABC cumple el teorema de Pitágoras. Por lo tanto es rectángulo --recíproco de Pitágoras.
Pero antes ya habíamos demostrado que es isósceles. Por tanto es la mitad de un cuadrado, y el resultado se sigue.
Los saluda
Fue kyaaaa profesur; y el
Fue kyaaaa profesur; y el problema 7 es el de un cuadrado de lado 1 y los puntos medios; aunque el que dice german es otro~~
ala te pasaste german
ala te pasaste german solucion bien chida y fregona peroo super larga heheheh xd y en la que da el profee que sale de la de kyaa creo que tambien desir que los angulos que estan a lado son complementarios por lo de los dos triangulos congruentes que hay ahi no me acuerdo de los vertices si no les diria cuales xd y de ahi se saka que son 90 grados el otro angulo ii pos todo lo demas pero weno
saludooos a todos heheh
Ah! OOps Cierto, fue Kyaaaa
Ah! OOps Cierto, fue Kyaaaa (nuestra colaboradora genio... gracias Kyaaaa...)
De nada prof. Y pues no sabia
De nada prof. Y pues no sabia que era el IMATE hasta q puso el comentario y me puse a investigar, jeje, creo que seria una muy buena opcion para estudiar pero todavia me falta, porque son posgrados y maestrias... apenas estoy en la prepa.