Demostrar que la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c con centro en O y radio r es PO2−r2
Aplica la definicón de potencia con la secante que pasa por el centro de la circunferencia.
Como se sabe, la potencia de un punto P es la misma para cualquier secante (ver el GBC-teorema de la potencia con secantes. En particular, podemos escoger la secante que pasa por el centro O del círculo. En ese caso la potencia de P respecto a c está dado por (PO−r)(PO+r). Es decir, el valor de la potencia de un punto P depende solamente del centro del círculo y de su radio. Si denotamos con d la distancia del punto al centro de c se tiene que la potencia de P respecto a c es d2−r2. Nota: Si todavía quedara alguna duda sobre el valor de la potencia de un punto P respecto a la circunferencia c considere el lector una secante que corte a c en A y B, y sea M el punto medio de la cuerda AB. Después de recordar el hecho de que el radio que biseca a la cuerda es perpendicular a ésta, el lector puede aplicar Pitágoras al triángulo rectángulo AMO para obtener AM2=r2−OM2. (Y también al PMO para obtener PM2=d2−OM2.) Y si ahora aplica la definición de potencia obtendrá PA⋅PB=(PM−AM)(PM+AM)=PM2−AM2=d2−OM2−r2+OM2=d2−r2.
