Algo de paridad

Puesto que $3 \equiv -1 \pmod{4}$ se sigue que 

$t^{2}=3^{m}+3^{n}+1 \equiv (-1)^{m}+(-1)^{n}+1 \pmod{4}.$

Luego como el cuadrado de un entero sólo puede ser $0$ ó $1$ módulo 4, los números $m$ y $n$ no pueden ser de la misma paridad. Supongamos entonces que $m=2u$ y $n=2v+1$. Se tiene entonces que

$t^{2}=3^{m}+3^{n}+1=3^{2u}+3^{2v+1}+1=9^{u}+3\cdot 9^{v}+1 \equiv 5 \pmod{8},$

lo cual es una contradicción pues el cuadrado de un entero sólo puede ser $0$, $1$ ó $4$ en módulo 8.