¿Cuántos soluciones serán?

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 02:29.

Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$

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Imagen de Alexander Israel Flores Gutiérrez

Hola. El problema es

Enviado por Alexander Israe... el 8 de Mayo de 2016 - 19:00.

Hola. El problema es muy sencillo. He aquí mi solución, completamente elemental:

Tenemos que:

$\displaystyle \left(b-1\right)\left(b+1\right)=3\left(2^{a}\right)$ ,

es decir,

$\displaystyle \left(b-1\right) \mid 3\left(2^{a}\right)$ ,

$\displaystyle \left(b+1\right) \mid 3\left(2^{a}\right)$

Por tanto, se tiene las siguientes dos alternativas:

$\displaystyle \left\{b-1=2^{m} \atop b+1=3\left(2^{n}\right) \right.,\ m+n=a$

$\displaystyle \left\{b-1=3\left(2^{p}\right) \atop b+1=2^{q} \right.,\ p+q=a$

En el primer caso, tenemos que:

$\displaystyle \left\{b=2^{m}+1 \atop b=3\left(2^{n}\right)-1 \right.$

Entonces,

$\displaystyle 2^{m}+1=3\left(2^{n}\right)-1 \Rightarrow 2^{m}+2=3\left(2^{n}\right) \Rightarrow 2\left(2^{m-1}+1\right)=3\left(2^{n}\right)$

Ahí se puede ver que

$\displaystyle m \neq 1$ , pues

$\displaystyle 2^{1}+2$ no es múltiplo de

$\displaystyle 3$ . También se puede ver fácilmente que

$\displaystyle m=0,\ n=0$ satisface la última ecuación, y así obtenemos la solución

$\displaystyle a=0,\ b=2$ .

Por otro lado, si

$\displaystyle m>1$ , entonces

$\displaystyle 2^{m-1}+1$ es impar, por lo que necesariamente

$\displaystyle 2^{n}=2$ , y entonces

$\displaystyle n=1$ y

$\displaystyle m=2$ . De esto se obtiene otra solución:

$\displaystyle a=3,\ b=5$ .

El segundo caso, se resuelve de manera análoga al caso 1, obteniendo una tercera solución, a saber,

$\displaystyle a=4,\ b=7$ .

Por tanto, la ecuación dada tiene 3 soluciones:

$\displaystyle \left(0,\ 2\right)$

$\displaystyle \left(3,\ 5\right)$

$\displaystyle \left(4,\ 7\right)$

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Muestro mi solución, algo

Enviado por Weldersay el 8 de Mayo de 2016 - 19:03.

Muestro mi solución, algo diferente a la de Alexander.

Supongamos, que $5\leq a$ entonces, en $3.2^a+1=b^2$ vemos que $b$ debe de ser impar, entonces existe un netero positivo $k$ tal que $b=2k+1$ entonces tendremos $3.2^a+1=(2k+1)^2$ lo que es equivalente a $3.2^a=(2k+1)^2-1=4k(k+1)$ y como $5\leq a$ entonces $2^{a-2}\geq8$ en la ecuación tendremos $3.2^{a-2}=k(k+1)$ y dado que $k$ y $(k+1)$ son coprimos y enteros consecuticos, entonces $k=1$ ó $k=3$ pero notemos que si $2^{a-2}\geq8$ entonces $3.2^{a-2}\geq24$ pero $k(k+1)$ es a lo sumo $12$ para $k=3$ por lo tanto no hay igualdad en $3.2^{a-2}=k(k+1)$ para $5\leq a$ entonces concluimos que $a< 5$

Viendo los casos para $a< 5$ tenemos las soluciones

$(a,b)=(0,2),(3,5).(4,7)$

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