La pregunta sugiere usar aritmética módulo 1000. En esta aritmética, el problema se plantearía así: encontrar el mínimo n tal que 2007n=837(mod1000), es decir, 7n=837(mod1000).
Vamos primero a buscar un k tal que 7k=1(mod1000) y después multiplicamos por k ambos lados de la ecuación 7n=837(mod1000), es decir, la ecuación modular quedaría: 7nk=837k(mod1000). Ahora bien, viendo el lado izquierdo como (7k)n y aplicar congruencias módulo 1000, el lado izquierdo se convierte en n (pues 7k es equiresidual con 1, módulo 1000). Así que sólo tenemos que calcular cuánto deja 837k al dividir entre 1000. (Nótese que, al igual que con las ecuaciones usuales, lo que queremos es despejar la ; para ello, también como en las ecuaciones usuales, multiplicamos por el inverso de su coeficiente…)
Para encontrar el inverso dividamos 1000 entre 7: 1000/7=142+6/7. Entonces 1001=143(7). Es decir k=143 es el inverso (de 7, módulo 1000) que buscábamos. Ahora bien, en la ecuación 7n(143)=837(143)(mod1000) los dos lados dejan el mismo residuo al dividir entre 1000 (son números equiresiduales). Pero el lado izquierdo es equiresidual con n, es decir, la ecuación modular se convierte en n=837(143)(mod1000). Entonces es equiresidual con 837(143)=119691 al dividir entre 1000. Pero entonces también es equiresidual con 691 al dividir entre 1000, y 691 es el equiresidual más pequeño posible, módulo 1000. Por lo tanto, la respuesta es n=691.
Otro método
Para encontrar el mínimo n tal que 7n=837(mod1000), debemos buscar el primer múltiplo de 7 en la sucesión 837, 1837,2837, etc. Justificación: la ecuación de congruencias equivale a decir “7n termina en 837”. Haciendo los cálculos necesarios, el primero de esos números es 4837 , y se obtiene el resultado dividiendo entre 7.
Nota: el segundo método es claramente ateórico; porque los números que son de la forma 2007n, y sus últimos tres dígitos son 837, se pueden modelar como 1000k+837=2007n=1000(2n)+7n,o7n=1000r+837; es decir, buscamos un n tal que 7n sea de la forma 1000r+837, y de ahí la conclusión de buscar el primer número múltiplo de 7 en la sucesión 1000r+837 con r=0,1,2,...
