Encontrar todas las parejas (x,y) de enteros que satisfacen la ecuación diofantina x3+y3=4(x2y+xy2)+1.
Factoriza y saca conclusiones usando divisibilidad.
La ecuación se puede formular de manera equivalente (después de factorizar) como (x+y)(x2+xy+y2)=4xy(x+y)+1. De aquí que x+y divide a 1. Pero entonces x+y=±1. Si x+y=1 entonces, eliminando y en la ecuación se obtiene 7x(1−x)=0 (se deja al lector la tarea de realizar las operaciones de simplificación). De aquí que, si x+y=1, las soluciones son (1,0), (0,1).
Si x+y=-1, se tendría la ecuación --después de sustituir y simplificar-- 5x2+5x+2=0, la cual no tiene solución entera (se deja al lector demostrar esto).
En resumen, la respuesta es: las soluciones son (0,1),(1,0).
La ecuación es equivalente a (x+y)3−7xy(x+y)=1. Al factorizar el lado izquierdo llegas a que x+y=±1. De ahí ya es fácil obtener los dos pares (x,y) que son solución de la ec. original.
La ecuación es equivalente a
La ecuación es equivalente a (x+y)3−7xy(x+y)=1. Al factorizar el lado izquierdo llegas a que x+y=±1. De ahí ya es fácil obtener los dos pares (x,y) que son solución de la ec. original.