Divisible entre la suma de sus cifras

Entre los 18 números consecutivos existen dos múltiplos de 9. Y, por el criterio de divisibilidad entre 9, la suma de sus cifras es también múltiplo de 9. Pero todos son menores o iguales que 2009. Luego, la suma de sus cifras es menor que 28 (las de 1999 suman 28).

Caso 1: Si la suma de alguno de los dos múltiplos de 9 en el conjunto fuese 27, entonces las posibilidades son 999, 1899, 1989, 1998. Verifiquemos la divisibilidad: 999=9(111)=9(3)(37), 1899=9(211), 1989=9(221), 1998=9(222)=9(3)(74). Así que 999 y 1998 cumplen. El lector puede fácilmente comprobar que los números que no cumplen (1989 y 1899) tienen un "compañero" (1890 o 1908 para 1989 y 1980 o 1998 para 1989) en el conjunto que sí cumple.
Caso 2: Si la suma de las cifras de dos múltiplos consecutivos de 9 fuese 18 (con el  9, no problema) entonces: si es par ya está; de otra manera, su compañero es par (y entonces es múltiplo de 9 y de 2).

Y en ambos casos hemos demostrado la existencia de un número que es divisible entre la suam de sus cifras.