División en casos

Primero supongamos que $q=r=s$, de ahi nuestro problema seria de esta forma...

$2p^s=k^2$ pero en ese caso, 2 divide a $k^2$ y por consiguiente $p^s$ tiene que ser multiplo de 2, entonces $p=2$. de ahi tendriamos $2^{s+1}=k^2$ y el resultado es valido para cualquier primo $s$ impar. de ahi $(p,q,r)=(2,s,s)$ cumplen para cualquier primo $s$ impar.

Ahora sin perdida de generalidad supongamos que $q$ mayor que $r$ asi que escribamos $q=r+x$. De ahi nuestro problema seria....

$p^{r+x}+p^r=p^r(p^x+1)=k^2$...si $r=2$ entonces $(p^x+1)=m^2$...de ahi $p^x=(m+1)(m-1)$

de ahi tendriamos que$(m+1, m-1)=(p^a, p^b)$ con $a$ mayor que $b$ y $a+b=x$, de ahi tenemos que

$p^{a-b}=\frac{p^a}{p^b}=\frac{m+1}{m-1}$  tiene que ser entero...y la unicas soluciones son $m=2,3$ de ahi comprovando cada una tenemos que  $(p,q,r)=(3,3,2),(2,5,3)$, en el caso de que en $p^r(p^x+1)=k^2$  $r$ sea impar... como $p^r$ divide a $k^2$..y $r$ impar....se tiene que $p^x+1$ es multiplo de $p$ lo cual es claramente falso(la unica solucion seria que $p=1$ ...de ahi las unicas soluciones son

$(p,q,r)=(2,s,s), (3,3,2),(3,2,3),(2,5,2)(2,2,5)$ con $s$ un primo impar...

saludos!!!!! y espero este del todo bien y entendible

Excelente razonamiento Brandon. El problema lo puse para ilustrar el método de solución por casos que es obligatorio en este tipo de problemas. Me permito destacar los casos que distinguiste:

Caso 1: q=r (y de ahí deduces una familia de soluciones)

Caso 2: q y r son diferentes (y supones q mayor --y al final las soluciones las permutas en los valores de q y r)

Subcaso 2.1: r=2

Subcaso 2.2: r es primo impar

Y, bueno, habría que preguntarle a Jesús si te da todos los puntos...

Te saluda