Expresado como producto de tres

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 19:56.

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$ la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$ , demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos).

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Dado que $n\geq2$ entonces

Enviado por Weldersay el 30 de Abril de 2016 - 18:13.

Dado que

$n\geq2$ entonces

$p_n$ y

$p_{n+1}$ son impares, entonces

$p_n +p_{n+1}$ es par, por lo que

$p_n +p_{n+1}=2k$ , con

$k\geq4$

Si demostramos que

$k$ es compuesto habremos terminado

Ahora veamos que

$k<p_{n+1}$

ya que si

$p_{n+1}=k$ , lleva a que

$p_n= p_{n+1}$ lo cual no puede ser

Por otro lado si

$p_{n+1}<k$ y dado que

$p_n<p_{n+1}$ entonces

$p_n +p_{n+1} <2k$

entonces concluimos efectivamente que

$k<p_{n+1}$

Ahora teniendo esto último, tendremos

$k+p_n<p_{n+1}+p_n=2k$ de donde tenemos que

$p_n<k$ entonces

$p_n<k<p_{n+1}$ entonces, dado que

$k$ está entre dos primos impares consecutivos concluimos que es compuesto.

Saludos

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Excelente, escribes muy bien

Enviado por German Puga el 6 de Mayo de 2016 - 13:14.

Excelente, escribes muy bien tus soluciones además de ser correctas.

Otro argumento, que no es más fácil ni más dificil pero es distinto, es que $k = \frac{p_n + p_{n+1}}{2}$ es decir $k$ es el promedio de estos dos, y por lo tanto esta entre ellos, y tiene que ser compuesto, como bien tu decias.

Saludos

germán

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Imagen de Alexander Israel Flores Gutiérrez

Weldersay: ¿Cómo concluyes

Enviado por Alexander Israe... el 7 de Mayo de 2016 - 19:11.

Weldersay: ¿Cómo concluyes que $p_{n}+p_{n+1}<2k$ a partir de la suposición de que $p_{n+1}<k$ y del hecho de que $p_{n}<p_{n+1}$ ? Lo que de esto de deduce es que $p_{n}+p_{n+1}<p_{n+1}+k-1$ , pero ya que $p_{n+1}<k$ , se tiene que $p_{n+1} \neq k$ , por lo que no se puede sustituir $p_{n+1} = k$ en la última desigualdad para llegar a $p_{n}+p_{n+1}<k+k$ , es decir, $p_{n}+p_{n+1}<2k$ .

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Hola Alexander, Pues, al

Enviado por Weldersay el 8 de Mayo de 2016 - 11:55.

Hola Alexander,

Pues, al tener $p_n< p_{n+1}$ y al suponer que $p_{n+1} <k......(1)$ tenemos $p_n<p_{n+1} <k$ entonces $p_n <k......(2)$ entonces sumando $(1)+(2)$ se tiene $p_n+ p_{n+1}<2k$ .

Saludos.

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Cierto, Weldersay. Saludos.

Enviado por Alexander Israe... el 8 de Mayo de 2016 - 15:44.

Cierto, Weldersay.