Factores de 39

La ecuación se factoriza como $m^n[1+m+m^2]=39=3(13)$. Por tanto $m^n$ es factor de 39. De aquí que tiene que ser 1, 3, 13, o 39, Pero $1+m+m^2$ no puede ser 1 y $m^n$ es 1 sólo si $n=0$. Por lo tanto el 1 se descarta.

Si uno de los factores es 3, puede ser que $m=3, n=1$, en cuyo caso $1+m+m^2=13$. Es decir, $m=3, n=1$ es una solución. (Y la posibilidad $1+m+m^2=3$ implica $m=1$, ya la ecuación no se cumpliría.)

Sólo falta demostrar que es la única solución posible. Pero eso es fácil de comprobar en vista de que las posibilidades de 13 y 39 como uno de los factores son las mismas ya consideradas (el otro factor tiene que ser 3 o 1, respectivamente.)

Nota: el principiante haría bien en asegurarse (cubriendo a detalle los casos restantes) de que $m=3, n=1$ es la única solución.