Juego de las 3 cartas

La información del enunciado no es fácil de asimilar en una primera lectura. Son tres jugadores, son tres cartas, varios repartos,... Podemos simplificarla un poco llamando a las cartas por su número que tienen escrito. Entonces, una ronda o reparto en el juego establece una correspondencia entre jugadores y cartas.

El dato del número de fichas recibidas por los jugadores debe servir para algo pero ¿para qué? ¿cómo lo podemos usar? (Esta debe ser una pregunta clave en el razonamiento del cognizador enfrentado a este problema.) De manera similar, el dato de que B recibió r cartas en el último reparto debe usarse de alguna manera.

Meditando sobre estas dos pistas posibles, el cognizador debería llegar eventualmente --si es que tiene algo de paciencia-- a que el total de fichas repartidas es 39 (y esto debe servir para algo en la ruta hacia la solución) y a que $r$ es el número máximo de entre los escritos en las cartas (y de nuevo, hemos encontrado otra piedrita en la búsqueda de Hansel y Gretel).

La pista de que $r$ es el máximo debe conducir, tarde o temprano, a que $r$ no puede ser mayor que 9 (puesto que a B le tocaron 10 en al menos dos juegos). De aquí que los números escritos en las cartas son tres números entre 1 y 9. El espacio de búsqueda se ha reducido considerablemente pero todavía faltaría saber cuántos repartos hubo.

Meditando sobre la forma de encontrar el número de repartos, el cognizador podría llegar a la idea de factorizar el 39: 39=3(13). ¿Y luego?

La verdadera clave del problema es quizá darse cuenta que 39 es el total de cartas repartidas y ese total debería poder lograrse multiplicando el número de repartos por la suma $p+q+r$ (puesto que en cada reparto se reparten las tres cartas y el número de fichas entregadas es la suma de los números de las tres cartas). Este hecho es extremadamente difícil de ver --ayudaría organizar la información inicial en tabla de doble entrada

     A    B    C
R1

R2
.
.
.
Rn        r

    20   10   9  39

Una vez descubriendo esta clave, lo demás es más sencillo. Porque n(p+q+r)=3(13) y debería ser claro que $n = 3$ o $n=13$. Pero el número de repartos no puede ser 13 --pues en ese caso B y C deberían tener al menos 13 fichas. Por lo tanto el número de repartos es 3 y los números en las cartas suman 13.

Conociendo el número de repartos lo que sigue es una búsqueda de los posibles números escritos en las cartas. Empezando con 1, 2, 10, después 1, 3, 9, etcétera, el cognizador debería llegar a una primera solución con 1, 4, 8.

Faltaría demostrar que es la única. Una tarea que el lector seguramente encontrará de poca dificultad.