Fermat converso (en general, espurio)

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Demostrar que si p,q son dos primos distintos para los cuales apa(modq) y aqa(modp), entonces apqa(modpq). }

Demostrar, con este resultado, el siguiente contraejemplo para la conversa del pequeño teorema de Fermat: 23401(mod341) --¡pero 341 es compuesto!




Imagen de j_ariel

Tenemos ... (1) ...

Tenemos

apa(modq) ... (1)

aqa(modp) ... (2)

sabemos que p y q son primos, asi que por el PTF vemos que

aqa(modq) ... (3)

apa(modp) ... (4)

por (1) y (3) tenemos

(ap)q=apqa(modq) ... (5)

y por (2) y (4) tenemos

(aq)p=apqa(modp) ... (6)

por (5) y (6) vemos que

q|apqa

p|apqa

pero p y q son primos, lo cual implica que

pq|apqa

que es equivalente a

apqa(modpq).

Para el contraejemplo, ponemos a p=11 y q=31, y se ve facilmente que

23412(mod341)

podemos utilizar la operacion de "eliminacion" en congruencias por ser 2 y 341 primos relativos, asi que

23401(mod341)

lo cual demuestra que el PTF no siempre es verdadero al reves.