Demostrar que si p,q son dos primos distintos para los cuales ap≡a(modq) y aq≡a(modp), entonces apq≡a(modpq). }
Demostrar, con este resultado, el siguiente contraejemplo para la conversa del pequeño teorema de Fermat: 2340≡1(mod341) --¡pero 341 es compuesto!
Tenemos ... (1) ...
Tenemos
ap≡a(modq) ... (1)
aq≡a(modp) ... (2)
sabemos que p y q son primos, asi que por el PTF vemos que
aq≡a(modq) ... (3)
ap≡a(modp) ... (4)
por (1) y (3) tenemos
(ap)q=apq≡a(modq) ... (5)
y por (2) y (4) tenemos
(aq)p=apq≡a(modp) ... (6)
por (5) y (6) vemos que
q|apq−a
p|apq−a
pero p y q son primos, lo cual implica que
pq|apq−a
que es equivalente a
apq≡a(modpq).
Para el contraejemplo, ponemos a p=11 y q=31, y se ve facilmente que
2341≡2(mod341)
podemos utilizar la operacion de "eliminacion" en congruencias por ser 2 y 341 primos relativos, asi que
2340≡1(mod341)
lo cual demuestra que el PTF no siempre es verdadero al reves.