Lema de Euclides --instancia de uso

Puesto que $39=3\cdot13$, se puede conjeturar que uno de los factores es múltiplo de 3 pero no de 13 y el otro es múltiplo de 13 pero no de 3. (Y como 3 y 13 son primos, si alguno de ellos no divide a un número significa que es primo con el número --y se puede aplicar el lema de Euclides.)

Notemos primero que $a^4+1$ deja residuo 1 o 2 en la división entre 3 (puesto que $a^4$ deja 0 o 1). Es decir, $a^4+1$ no es divisible entre 3 (es decir, es primo con 3). De aquí que $b^2-1$ tendría que ser divisible entre 3.

Por hipótesis, 39 no divide a $b^2-1$. Por lo tanto 13 no divide a $b^2-1$. Así que, para que hubiera una solución, sería necesario que 13 dividiera a $a^4+1$. Pero (módulo 13) $a^4$ deja 0, 1, 3, 9 en la división entre 13 (hagan las cuentas). Por tanto $a^4+1$ dejaría 1, 2, 4, 10; se sigue que no es divisible entre 13. La respuesta es entonces que no hay ninguna solución $(a,b)$ que cumpla la condición.