Longitud del ciclo --de residuos potenciales

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Sean a,m enteros positivos y primos entre sí, y o el exponente entero positivo más pequeño que cumple ao1(modm). Demostrar que si au es equiresidual con el 1 (mod m) entonces u es múltiplo de o.




Imagen de coquitao

Falta un 1 en el lado derecho

Falta un 1 en el lado derecho de la congruencia que aparece en la primer oración de la entrada. Una vez aclarado eso la prueba sería como sigue: por el algoritmo de la división se tiene que u=oq+r para algún natural q y algún natural r que satisface 0r<o. Así, si o no dividiera a u se tendría que r(0,o) es tal que

1au=aoq+rarmodm

lo que contradice la minimalidad de o. De lo anterior se tiene que r debe ser igual a 0 y la prueba termina.