Mediante inducción demostramos primero para n=2:
Si $K=ab$ (con $ a $ y $ b $ digitos) entonces $ S=a+b $, observando que en el número $ K $ ocupa el lugar de las decenas y $ b $ el de las unidades, tenemos que $ K=10a+b $ y $ K-S=(10a+b)-(a+b)=9a$. Es claro que $ 9a $ es múltiplo de 9 y ya está.
Ahora supongamos para $ n $:
Sea $ K = a_1 a_2 a_3a_4 \cdots a_n $ (con $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ digitos), entonces $S=a_1+a_2+a_3+\cdots + a_n$ y, segun el enunciado, 9 divide a $ K-S = (a_1 a_2 a_3a_4 \cdots a_n) - (a_1+a_2+a_3+\cdots + a_n)$ o lo que es lo mismo $F = (K - S) \div 9$ es entero.
Demostremos para $n+1$:
Es decir, demostremos que para $M = a_1 a_2 a_3a_4 \cdots a_n a_{n+1}$ (con $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}$ digitos) y $N=a_1+a_2+a_3+\cdots + a_n+a_{n+1}$, se tiene que 9 divide a $M - N$, o lo que es lo mismo, $E= (M - N) \div 9$ es entero.
Sabiendo que las suma o resta de dos enteros es igual a otro entero, tenemos que $E$ es entero si y sólo si $E-F$ es entero. Por otro lado, de la siguiente igualdad :
\[E- F =\frac{M-N}{9} - \frac{K-S}{9}=\frac{M+S-N-K}{9}\]
se decuce que $E-F$ es entero si y sólo si $(M+S-N-K)\div 9 $ es entero.
Veamos que podemos reescribir $M = a_1 a_2 a_3a_4 \cdots a_n a_{n+1}$ como $ M=10( a_1 a_2 a_3a_4 \cdots a_n) + a_{n+1}$, de aqui que $M=10K + a_{n+1}$. Por algo similar, $N=S+a_{n+1}$y sustituyendo esto en la resta de $ E- F$ tenemos que:
\[\frac{M+S-N-K}{9}=\frac{10K+a_{n+1}+S- (S+a_{n+1})-K}{9}=\frac{9K}{9} = K\]
Con esto demostramos que $E- F$ es igual a $K$, de aqui que $E-F$ es entero. Lo que termina la prueba.
Demostrando el problema y
Demostrando el problema y usandolo con el caso particular de n=3 restan pocos pasos para inventar un truco donde el mago adivina una cifra de un numero...
El problema se me ocurrio despues de decifrar el secreto del truco y lo demostre para n=3, pero se me ocurrio que podria cumplirse para cualquier valor de n y me propuse demostrarlo. Pongo aqui la solucion para que me digan si es correcta o si tienes errores.
Te escribo para comentarte
Te escribo para comentarte que ya leí tu problema y veo que está muy bien. Tengo que comentar sobre dos aspectos de tu problemas
Aspecto Editorial.
También te comento que hice varios cambios a lo mandaste orignalmente, pues había algunos errores ortográficos, faltaba el formato latex y algunas redacciones me parecieron confusas.
Checa cómo quedó y si encuentras algun error porfavor corrígelo.
Para el futuro te recomiendo checar el acordeón de latex, para que escribas con fórmulas matemáticas. Y una nota, en el enunciado del problema no pongas comentarios, sólo pon concretamente el problema. Si deseas expresar otra cosa, ajena al enunciado del problema puedes publicar el problema y posteriormente agregar un comentario a éste.
Aspecto Matemático
Lo que demuestras en tu problema sirve para probar el criterio de divisibilidad entre 9, esto es, 9 divide a un número si y sólo si 9 divide a la suma de sus dígitos. Piénsalo, es consecuencia casi inmediata.
Por otro lado, nunca antes había visto una prueba por inducción, lo que para mi, vuelve tu solución en original. La prueba que más "sencilla" me parece es con el uso de congruencias, pero eso requiere precisamente saber congruencias.
Saludos
Lo que habría que mejorar (y
Lo que habría que mejorar (y no evolucionar ¿o quisiste decir revolucionar?) es el aprendizaje de las matemáticas. Tú tuviste entrenamiento estatal en la preselección Tamaulipas 2008 y, por lo que se ve, nunca te pusiste a estudiar. Aprovecho tu problema para saludarte y comentar un fenómeno del aprendizaje (y la enseñanza de las matemáticas) por descubrimiento.
El problema que planteas es trivial una vez que el aprendiz se apropia del concepto de números equiresiduales. Si el número y la suma de sus cifras dejan el mismo residuo en la división entre 9 entonces su diferencia es divisible entre 9 (porque los residuos se cancelan).
La demostración clásica de que el número y la suma de sus cifras son equiresiduales se realiza mediante la expresión del número en términos de potencias de 10 (el sistema decimal). Es decir, $n=a_k10^k+...+a_010^0$. Digamos que el dígito en la posición $ r $ es $a_r$, entonces al restar la suma de los dígitos a $ n $ se puede factorizar $a_r$ y queda $a_r(10^r-1)$, y esto para $r=0,...,k$. ¿Y qué vemos? Vemos que $10^r-1$ es un número compuesto de puros nueves. Y entonces es divisible entre 9. (Y bueno, esto de paso demuestra el criterio de divisibilidad entre 9... el número deja residuo cero si y sólo si la suma de sus cifras también...)
Esta demostración es elemental pero muy posiblemente incomprensible para la mayoría de los adolescentes. Aunque uno esperaría que no lo fuera para el 5% superior de ellos --como lo han sido los adolescentes en la preselección Tamaulipas durante los 3 años en que fui delegado. La sorpresa es entonces que también es incomprensible para algunos de ese 5% superior, pues tú fuiste de la preselección. (Ni bueno ni malo, es sólo que uno como entrenador --y profesor-- tiene que hacer ciertas suposiciones básicas sobre las capacidades cognitivas de sus alumnos, las cuales no siempre se cumplen. La atención a casos especiales no es por el mismo precio... ya sé que estoy siendo políticamente incorrecto...)
Tú acabas de descubrir por tu cuenta un pequeño teorema. Y eso es algo de lo que te debes sentir orgulloso. Pero el hecho es que el fenómeno paradójico de la educación matemática que quiero comentar es que el aprendizaje por descubrimiento es el mejor aprendizaje, el más significativo --un axioma que está de moda en la didáctica de las matemáticas. Y yo estaría de acuerdo. Sólo que tiene un pequeño defecto.
Y es que para llegar a descubrir un ítem de conocimiento que ocupa menos del 1% de un programa de entrenamiento --como lo es la noción de números equiresiduales o el criterio de la divisibilidad entre 9-- ello puede tomar 3 años o quizá nunca se llegue a concretar.
Y eso en el caso que siguieras la sugerencia de Jesús y llegaras a derivarlo de tu problema. De otra manera te quedarías resolviendo pequeños acertijos que casi nada aportan a tu aprendizaje de las matemáticas. Y bueno, respecto a tu lema desearía recordarte que entre la enseñanza y el aprendizaje existe algo que se llama estudiar, pero parecería que la actividad de estudiar es el eslabón perdido de la educación matemática (la frase es de Yves Chevallard).
Te saluda
jmd
PD: te faltó platicarnos cuál es el truco...
Agradezco el comentario (y
Agradezco el comentario (y también a Jesús por sus correcciones y observaciones). La verdad tiene razón, yo nunca me puse a estudiar en los entrenamientos, iba a puro valor mexicano como dicen por ahi... Pero desde esa etapa de mi vida tome un gusto por las matemáticas, o mejor dicho, las empecé a mirar de otra forma, observe esa belleza (que la mayoría no ve) en una demostración matemática, por mas simple que esta sea; con respecto a mi firma, lo que quiero dar a entender es que hay que enseñar (acostumbrar) a los niños a pensar, a no ponerles simples problemas que se resuelven solo con usar una operación aritmética. Por otra parte entiendo que los maestros hacen esto para hacerla la tarea mas fácil al niño ("se me hace que no puede, mejor le pongo uno mas fácil para que pase..."), ya que ahora que doy clases en CONAFE (como estoy solo en el rancho, me entretengo con los cuadernillos de matemáticas) me he topado con esa problemática, a los niños no les gusta pensar, prefieren problemas que se remueven en tres patadas.
Por otra parte me llama la atención el comentario sobre que nada aporta a mi aprendizaje, a como veo las cosas, las matemáticas a pesar de ser bellas, nunca aportan nada a nuestro conocimiento, por mas complejo que sea el problema, su belleza radica en el ingenio de las demostraciones, en la forma de unir cosas que parecían no tener nada en común, esto me hace recordar una anécdota en donde iban dos personas perdidas arriba de un globo y de repente ven a un individuo abajo al que le preguntan: Disculpe! ¿Podría decirnos donde estamos? a lo que el que estaba abajo respondió: ¡en un globo! Entonces uno de los que venían arriba dijo: vez, ese hombre debe es un matemático, lo que nos dijo es cierto pero no nos sirve de nada...
Por cierto, el truco era el siguiente:
Un mago escogía al alguien del público y lo invitaba a que anotara un número de tres cifras en un papel, después le pedía que sumara las cifras de dicho número y por ultimo que el resultado de la suma se lo restara al número original. Ahora el mago pedía al espectador que del número resultante escogiera una cifra y le dijera las otras dos, con esto el mago adivinaba la cifra seleccionada. Es algo obvio debido a que el numero resultante es múltiplo de nueve y bueno ya conocemos el criterio de le divisibilidad entre nueve. El mago solo tenia que buscar que numero al sumarlo a los dos cifras dadas daba como resultado un múltiplo de nueve y ya.
Saludos!
Pd: Gracias de nuevo Jesús por corregir la redacción y por tus observaciones.