Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Sea el numero y las sumas
Sea $a$ el numero y $b$ las sumas de sus cifras. Por el enunciado sabemos que:
$a^2=b^3$, de ahi se tiene que que como los exponentes son coprimos (el 2 y 3) entonces $a$ es de la forma. $a=x^{3m}$ Es decir $a$ es un cubo, de con argumento similar $b=y^{2n}$,es decir $b$ es un cuadrado.
Por otro lado los cubos menores que 1000 son 1, 8 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Y recordando que la suma de las cifras debe ser un cuadrado ( $b=y^{2n}$ ) los posibles valores son 1, 27, y 216. Inspeccionando cada caso se llega a que los numeros pedidos son 1 y 27