Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)

Posiblemente la evocación (el recuerdo) de la demostración euclideana de que los primos no son finitos sea la que convierte este problema en uno de dificultad extrema en uno de dificultad media. Porque si uno se acuerda de esa demostración de Euclides, se acuerda también de que el producto de primos diferentes aumentado en 1 tiene una dscomposición canónica, en la cual no aparece ninguno de los primos ya usados... etc.

Para este problema, la evocación de aquélla demostración lleva a conjeturar que la sucesión definida no repite términos. (Antes de eso, uno puede explorar el problema un rato y calcular los primeros 4 términos --2,3,7,43-- y abandonar la idea de encontrar un patrón, pues el quinto término es el máximo divisor primo de 42(43)+1=1807.)

Para ver que la sucesión no repite términos procedamos por contradicción: si $p_m=p_{m+k}$ entonces $p_m$ divide a $p_1\cdot p_2\ldots p_{m-1}+1$ y a $p_1\cdot p_2\ldots p_{m+k-1}+1$. Pero entonces divide a su diferencia $p_1\cdot p_2\ldots p_{m-1}(p_mp_{m+1}\ldots p_{m+k-1})$. Pero $p_m$ no divide al primer factor. Luego, divide al segundo. Es decir, divide a 1. Se ha logrado la contradicción y por tanto la sucesión no puede repetir términos.

Y si no repite términos ¿qué ganamos? Bueno, cuando se está resolviendo el problema no hay ninguna garantía de que una idea o plan vaya a tener éxito. Continuemos ahora con un intento de demostrar por el absurdo que la sucesión no contiene el 5.

Si la sucesión tuviera un 5 (digamos $p_n=5$) entonces el 5 es el máximo divisor primo de $N=p_1p_2\ldotsp_{n-1}+1$. Pero ello significa que en la descomposición canónica de N no aparecen primos mayores que 5 (pues 5 es el máximo) ni aparecen el 2 ni el 3 (por la observación inicial sobre la demostración euclideana). Conclusión: la descomposición prima de N consiste de puros cincos, es decir, $N=5^k$. Y ya está.

Porque, en ese caso. $N=p_1\cdot p_2\dots p_{n-1}+1=5^k$. Y esto permite la ecuación $p_1\cdot p_2\dots p_{n-1}=5^k-1$. Es decir, permite concluir que 4 divide al producto de primos  $p_1\cdot p_2\dots p_{n-1}$. Pero la sucesión no repite términos (en particular, no repite el 2), y se ha logrado una contradicción. Luego, $p_n$ es diferente de 5.