Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)

La clave para llegar a la solución del problema es notar que, para que existiera una solución, x tendría que ser múltiplo de 21 (porque con seguridad 2008! sí lo es). Esta condición es necesaria, es decir, si existiera una solución entonces x sería múltiplo de 21.

Pero hay otra condición necesaria: el número de factores 21 en 2008! debe ser al menos 2008. Y uno puede sospechar que esta condición es la que no se cumple. Y si no se cumpliera, entonces no hay solución.

Para ver cuántos factores 21 tiene 2008! basta con contar los factores 7 (que son menos que los factores 3):

¿Hasta dónde llega la sucesión $7k$ sin que el último término sea mayor que 2008? La respuesta se obtiene tomando la parte entera de 2008/7. Y ésta es 286. Ahora observemos que de entre los 286 múltiplos de 7 hay algunos que son múltiplos de 49, y otros múltiplos de 343 (es decir, llevan --respectivamente-- un siete doble y un siete triple). Y, con el mismo método, es fácil ver que los dobles y triples son, respectivamente, 40 y 5. (Notemos que $7^4=2401$ y por esa razón ya no aparecen en el factorial.) En resumen, el número de factores 7 en 2008! es 286+40+5=331.  Y claramente no son suficientes para cancelar los 2008 sietes de $x^{2008}$.