Operan al primo... ¿resultó cuadrado? ¡perfecto!

 Supongamos que $n$ es un entero tal que

$\displaystyle 5^p + 4p^4 = n^2$,

despejando a $5^p$ tenemos

$\displaystyle 5^p = n^2 - 4p^4 = n^2 - (2p^2)^2 = (n - 2p^2) (n + 2p^2)$.

Analicemos a $n - 2p^2$ y a $n + 2p^2$. Primero, veamos qué pasa si alguno de ellos es igual a 1.

Si $n - 2p^2 = 1$ entonces $n + 2p^2 = 5^p$, y si a la segunda igualdad le restamos la primera obtenemos que

$\displaystyle 4p^2 = 5^p - 1$

y como $p$ es primo, tenemos que

$\displaystyle p | 5^p - 1$;

si $p = 5$ entonces $5 | 5^5 - 1$, lo cual es una contradicción; si $p \neq 5$ entonces $5^p$ deja residuo 5 al dividirlo por $p$ gracias al Pequeño Teorema de Fermat, así que $5^p - 1$ deja residuo 4 al dividirlo por $p$, así que la única posibilidad es que $p = 2$, pero al considerar a la expresíón original $5^p + 4p^4$ vemos que no obtenemos un cuadrado perfecto. Con esto concluímos que $n - 2p^2 \neq 1$.

Ahora, si $n + 2p^2 = 1$ entonces $n - 2p^2 = 5^p$, y si a la primera igualdad le restamos la segunda obtenemos que

$\displaystyle 4p^2 = 1 - 5^p$,

pero el primer miembro siempre es positivo mientras que el segundo siempre es negativo, así que llegamos a una contradicción.

Hemos demostrado que ni $n + 2p^2$  ni $n - 2p^2$ pueden ser 1, esto significa que ambos deben de ser múltiplos de 5, así que

$\displaystyle 5 | n + 2p^2$,
$\displaystyle 5 | n - 2p^2$

de donde obtenemos

$\displaystyle 5 | 4p^2$,
$\displaystyle 5 | p$

por lo tanto $p=5$. Al tomar la expresión original, tenemos que

$\displaystyle 5^5 + 4(5)^4 = 2500 = (50)^2$.

Así que la respuesta al problema es $p = 5$.

Gracias Zzq. Es una buena lección de cómo razonar un problema de números. Espero que la aprovechen los usuarios de MaTeTaM.

Te saluda