Analicemos a $n - 2p^2$ y a $n + 2p^2$. Primero, veamos qué pasa si alguno de ellos es igual a 1.
Si $n - 2p^2 = 1$ entonces $n + 2p^2 = 5^p$, y si a la segunda igualdad le restamos la primera obtenemos que
$\displaystyle 4p^2 = 5^p - 1$
y como $p$ es primo, tenemos que
$\displaystyle p | 5^p - 1$;
si $p = 5$ entonces $5 | 5^5 - 1$, lo cual es una contradicción; si $p \neq 5$ entonces $5^p$ deja residuo 5 al dividirlo por $p$ gracias al Pequeño Teorema de Fermat, así que $5^p - 1$ deja residuo 4 al dividirlo por $p$, así que la única posibilidad es que $p = 2$, pero al considerar a la expresíón original $5^p + 4p^4$ vemos que no obtenemos un cuadrado perfecto. Con esto concluímos que $n - 2p^2 \neq 1$.
Ahora, si $n + 2p^2 = 1$ entonces $n - 2p^2 = 5^p$, y si a la primera igualdad le restamos la segunda obtenemos que
$\displaystyle 4p^2 = 1 - 5^p$,
pero el primer miembro siempre es positivo mientras que el segundo siempre es negativo, así que llegamos a una contradicción.
Hemos demostrado que ni $n + 2p^2$ ni $n - 2p^2$ pueden ser 1, esto significa que ambos deben de ser múltiplos de 5, así que
$\displaystyle 5 | n + 2p^2$,
$\displaystyle 5 | n - 2p^2$
de donde obtenemos
$\displaystyle 5 | 4p^2$,
$\displaystyle 5 | p$
por lo tanto $p=5$. Al tomar la expresión original, tenemos que
Supongamos que es un entero
Supongamos que $n$ es un entero tal que
$\displaystyle 5^p + 4p^4 = n^2$,
despejando a $5^p$ tenemos
$\displaystyle 5^p = n^2 - 4p^4 = n^2 - (2p^2)^2 = (n - 2p^2) (n + 2p^2)$.
Analicemos a $n - 2p^2$ y a $n + 2p^2$. Primero, veamos qué pasa si alguno de ellos es igual a 1.
Si $n - 2p^2 = 1$ entonces $n + 2p^2 = 5^p$, y si a la segunda igualdad le restamos la primera obtenemos que
$\displaystyle 4p^2 = 5^p - 1$
y como $p$ es primo, tenemos que
$\displaystyle p | 5^p - 1$;
si $p = 5$ entonces $5 | 5^5 - 1$, lo cual es una contradicción; si $p \neq 5$ entonces $5^p$ deja residuo 5 al dividirlo por $p$ gracias al Pequeño Teorema de Fermat, así que $5^p - 1$ deja residuo 4 al dividirlo por $p$, así que la única posibilidad es que $p = 2$, pero al considerar a la expresíón original $5^p + 4p^4$ vemos que no obtenemos un cuadrado perfecto. Con esto concluímos que $n - 2p^2 \neq 1$.
Ahora, si $n + 2p^2 = 1$ entonces $n - 2p^2 = 5^p$, y si a la primera igualdad le restamos la segunda obtenemos que
$\displaystyle 4p^2 = 1 - 5^p$,
pero el primer miembro siempre es positivo mientras que el segundo siempre es negativo, así que llegamos a una contradicción.
Hemos demostrado que ni $n + 2p^2$ ni $n - 2p^2$ pueden ser 1, esto significa que ambos deben de ser múltiplos de 5, así que
$\displaystyle 5 | n + 2p^2$,
$\displaystyle 5 | n - 2p^2$
de donde obtenemos
$\displaystyle 5 | 4p^2$,
$\displaystyle 5 | p$
por lo tanto $p=5$. Al tomar la expresión original, tenemos que
$\displaystyle 5^5 + 4(5)^4 = 2500 = (50)^2$.
Así que la respuesta al problema es $p = 5$.
Gracias Zzq. Es una buena
Gracias Zzq. Es una buena lección de cómo razonar un problema de números. Espero que la aprovechen los usuarios de MaTeTaM.
Te saluda