P1 OMM 2006. Los parientes de un número son sus múltiplos

Versión para impresión
Su voto: Ninguno Media: 3.7 (3 votos)

Sea ab un número de dos dígitos. Un entero positivo n es “pariente” de ab si:

  • El dígito de las unidades de n también es b.
  • Los otros dígitos de n son distintos de cero y suman a.

Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .




Imagen de German Puga

Primero demostremos el

Primero demostremos el siguiente resultado:

(1) Si ak(modb) se tendra que por algoritmo de la division bq+k=a entonces   a1q+k1(modb1) Demostracion: se tiene que            bq+k1=a1 luego q(b1)+q=bq entonces b(q1)+q+k1=a1 de donde el resultado es claro.

Todos lo numeros del 10 - 19 dividen a todos sus parientes (pues su unico pariente es si mismo.)

Ahora veamos la aplicacion del resultado en (1),  por ejemplo veamos los numeros del 20 - 29. En particular   29   es pariente con   119    entonces tendremos  

4(301)=116 por lo que                                                                                

(41)1193(mod29) de alli a que  q=4,k=3 entonces por (1) se tendra que 1184+31(mod28) y de alli se sigue los resultados:

1193(mod29),1186(mod28),1179(mod27),,11030(mod20)

De alli se vuelve sencillo, solo hay que hacer unas cuantas sumas, para los de treinta, se tiene a 129 como pariente de 39 es decir 3(40-1)=117 por lo que 12912(mod39), se hace los mismo que en (41) y pues se nota que los residuos van de 2 en 2 (dado que q=3 y se le resta uno), entonces no va a alcanzar los residuos a los modulos hasta que 12030(mod30) por criterio de divisibilidad el 30 siempre dividira a sus parientes, y se sigue.

13941(mod49) (va de uno en uno) 13842(mod48),,13545(mod45),,13050(mod40) se aprecia que el 45 por divisibilidad de 9 y 5 siempre dividira a sus parientes.

2393(mod59) (de tres en tres) y no alcanza.

15921(mod69) (de uno en uno) y no alcanza.

16911(mod79) ( de uno en uno) y no alcanza.

3593(mod89) ( de tres en tres) y no alcanza.

18990(mod99) no cambia y es apreciable el 90 que por divisibilidad divide a todos sus parientes.

En conclucion los unicos numeros que siempre dividen a sus parientes son el 30,45y90.

Agradeceria que me corrigeran,

Saludos,

Germán.

Imagen de jmd

No entiendo cómo usas el

No entiendo cómo usas el resultado demostrado al principio. ¿Podrías ser más explícito? 

Te saluda

Imagen de German Puga

Tenemos que, sean a,b

Tenemos que, sean a,b enteros positivos con ab y sea k el residuo de a en su division entre b.Tendremos que bq+k=a para algun entero q. En congruencias: ak(modb) entonces tambien es cierto que  a1q+k1.

Ahora hay que notar lo siguiente, por ejemplo 59 como pariente de 239 y 591 pariente de 2391 en particular 239x es pariente con 59xDe aqui tenemos que 2393(mod59) ahora segun el ejemplo a=239 b=59 k=3 y q=4 ya que 59(4)+3=239. Luego sabemos que a1q+k1(modb1) sustituyendo:  23914+31(mod591) lo que es igual a 2386(mod58). Bueno asi funciona, pero toma su eficiencia al notar como van cambiando los residuos y que estos ultimos no van a ser divisibles entre el modulo(excepto en casos especiales).

Saludos,

Germán.

Imagen de andre

hola chavalalaes   10a+b el

hola chavalalaes

 

10a+b el numero mas chiquito de la lista sin contar el 10a+b es 10(a-1)+b+100 (se recorre un uno) si 10a+b divide a 10a+b obvi y tambien divide a 100+10(a-1)+b haciendo la resta nos queda que si divide a x y a y tmb dividira a x-y x siendo el mayor por lo que debe dividir si o si a 90 y haciendo talacha nos deja 90 45 y 30 (no se si numeros que empiezan con uno como el 14 sirven pq ps nomas esta el 14 como pariente)

 

no se la compliquen chavalos :D