Problema de Teoría de Números

Este problema me pareció bastante complicado. No salió con las técnicas clásicas de módulos.

Te platico, el primer paso es reducir el problema. Observa que podemos pasar el ocho para la izquierda y factorizar $$(x-2)(x^2+2x+4) = 3^y7^z$$

Aquí hay que observar que 3 divide a ambos factores o no divide a ninguno. Como la condición pide enteros positivos ($y >0$), entonces debe dividir a ambos. Luego sustituimos $x = 3k + 2$, y aparecerá un factor $3^2$, lo cancelamos y obtenemos: $$k(3(k+1)^2 +1) = 3^{y-2}7^z$$

Haciendo un par de argumentos de divisibilidad se puede observar que $k=3^{y-2}$ y $3(k+1)^2 + 1 =7^z$. Los argumentos serían como sigue:

• Observemos que $3$ no puede dividir a $3(k+1)^2+1$ y por la tanto $3^{y-2}$ es factor de $k$.
• Por otro lado, si $7$ dividiera a $k$, entonces 7 tampoco dividirá a $3(k+1)^2+1$, lo cuál hace imposible la igualdad.
• Entonces deberá ser que $7$ no divide a $k$ y por lo tanto $k = 3^{y-2}$.

Ahora bien, utilizando módulo 4 en la ecuación $3(k+1)^2 + 1 =7^z$, obtenemos que $z$ debe ser par y $k$ impar. Entonces, sustituimos por $z = 2q$ y $k = 2p-1$ en la ecuación y después de algunas manipulaciones algebraicas llegamos a:
$$p^2 = 4(7^{2(q-1)}+7^{2(q-2)} + \cdots 7^2 + 1)$$

La última igualdad tendrá solución si y sólo si $$S_{q-1} = 7^{2(q-1)}+7^{2(q-2)} + \cdots 7^2 + 1$$ es un cuadrado perfecto. Evidentemente $S_0$ es cuadrado perfecto, por lo que para $q=1$ hay solución y esto nos arroja la solución $(x,y,z)=(11,3,2)$. El problema es ahora ver que $S_{q-1}$ no es cuadrado perfecto para ningún valor $q>1$. ¿Cómo dedudicimos que hay probar esto? Es lo normal en este tipo de problemas que tengan sólo un número finito de soluciones.

Hasta este punto sólo hemos empleado técnicas estándar de manipulación de ecuaciones de número enteros. Pero probar que $S_q$ no es cuadrado perfecto no es tan símple. Permiteme aclarar que podríamos tratar de probar la proposición más débil que dice que $4*S_q$ no es cuadrado de la forma $(3^\beta +1)^2$, pero me pareció que tratar de meter la potencia de 3 al cuento era un distractor.

Entonces, ¿cómo probar que $S_n = 7^{2n}+7^{2n -2} + \cdots 7^2 + 1$ no es cuadrado perfecto para $n>0$? Aquí es donde acudí a una argumentación poco elegante para este tipo de problemas. Básicamente busqué un entero $a_n$ tal que $a_n^2 < S_n < (a_n+1)^2$ probando así que $S_n$ no es cuadrado.

El número que encontré fue $a_n = 7^{n} + (7^{n-2}-1)/2 = 7^n +3(7^{n-3}+7^{n-4} + \dots 1)$. Para la definición correcta de este número es necesario que $n \geq 3$, pero se puede ver que para $n=1,2$ funcionan los número $a_1 = 7$ y $a_2 = 49$. Por lo que esto acabaría con el problema.

El único detalle sobrante es probar que $a_n^2 < S_n < (a_n+1)^2$  para $n \geq 3$, pero eso se verifica probando que $a_n^2 < 7^{2n} + 7^{2n-2}+7^{2n-4} < S_n < 7^{2n} + 7^{2n-2}+7^{2n-3} < (a_n+1)^2$. Estas últimas desiguadades se verifican usando pura álgebra de desigualdades.

Saludos y gracias por compartir tu problema.

Nota: Algunas de estas cosas ayuda verlas en base 7. Pero no es necesario.

Entonces la solución encontrada es única: $x=11, y=3, z=2$ .

Quiero entender bien su solución. ¿Cómo se deduce que $\displaystyle z$ debe ser par y $\displaystyle k$ debe ser impar en la igualdad $\displaystyle 3(k+1)^{2}+1=7^{z}$, utilizando $\displaystyle \pmod{4}$? Le pido por favor me explique cómo se deduce eso.

Ohh, este problema apareció en la Olimpiada Nacional de Turquía de 2014 segunda ronda. http://artofproblemsolving.com/downloads/printable_post_collections/5443

Jesús:

He aquí mi solución a este problema:

http://www.elirracional.org/index.php/6123/cual-es-terna-enteros-positiv...

Cordialmente,

J.H.S.

Eso lo explico en el primer comentario que le escribí a Alexander en esa discusión.

Cordialmente,

J.H.S.

Yo tengo esto (no he leído aún las soluciones):
$$x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)=((x+1)^{2}+3)=3^{y}7^{z}$$
Para esto si x-2 contiene al 7 $$x \equiv 2 \mod 7$$ , de otro modo $$x \equiv 1 \lor 4 \mod 7$$ .
Así que uno de los factores contiene todos los 7's, por lo que otro debe ser potencia de 3.

Supongamos que todos 3^h es contenido por uno de los factores y ese factor es (x+1)^2+3, entonces existe h tal que (x+1)^2+3=3^h.
La única forma de que esto pase es que, para algún k:
$$x+1=(3k)^{2} \Rightarrow 3^{h-1}=3k^2 \Rightarrow x=-1$$ lo que no satisface las condiciones del problema, luego ese 3^h es x-2 realmente.
Del otro lado $$\begin{eqnarray} (3^h+3)^{2}+3&=&3^{y-h}7^{z} \Rightarrow \\ 3(3^{h-1}+1)^{2}&=&3^{y-h-1}7^{z} \Rightarrow \\ y=h+1 &\land& 3(3^{h-1}+1)^{2}=7^{z}-1 \end{eqnarray}$$
Pero,
$$7^{z}-1=6(7^{z-1}+7^{z-1}+ \ldots +1) \Rightarrow z=2w$$ para algún w.
$$3^{h}(3^{h-1}+2)=7^{2w}-4=5( \ldots )$$ . Como 5 no divide a una potencia de , $$5|3^{h-1}+2 \Rightarrow h=2$$ . Se concluye que la única solución es (11,3,2). Porfa quien le sepa borre los otros intentos de escribir en LaTeX xD.