El siguiente juego de canicas involucra un sólo jugador. Se ponen muchas canicas en una caja. El objetivo del juego es que el jugador logre sacar todas las canicas de la caja utilizando sucesivamente alguna de las siguientes 2 jugadas:
- Quitar exactamente $a$ canicas de la caja.
- Poner exactamente $b$ canicas en la caja.
Contesta las siguientes preguntas:
a) Si a = 4 y b = 7, ¿será posible que el jugador logre sacar todas las canicas? Si crees que sí explica cómo, si no da un contraejemplo.
b) Sin importar cuántas canicas haya en la caja, ¿para qué valores de a y b siempre será posible que el jugador logre su objetivo?
Ver también:
Combinación lineal de enteros.
Ver también:
Identidad de Bezout
No se si este bien, es lo
No se si este bien, es lo primero que pense al leer lo que arreglaste jesus
a)deseamos que x4 + y7 + n = 0
entonces x4 + y7 = -n
por lo tanto cuando - n = (x,y) hay solucion
n = {1,2,3} que son los residuos al restar al principio 4p, si da 0 acabamos el problema
tendria x4+ y7 + 3 = 0
(x)(4) + (y)(7) = -3
entonces cumple cuando -3 = (x,y) con ( x>y respecto a su base no al signo )
y vemos que cuando x=-6 y = 3 tenemos que... ( x es negativo porque x(a) que ser un numero negativo puesto que se tienen que restar "a" canicas ), ( el Mcd de -6 y 3 es -3 )
queda : -24 + 21 = -3
asemos lo mismo con n = 2: -2 = (x,y) cumple con x = -4 y =2
con n = 1 : -1= (x,y) cumple con x = -2 y= 1
generalizando el caso b)
tenemos que para (x)(a) +(y)(b) + n = 0 ( x siendo numero negativo )
hay solucion cuando - n = (x,y) con x > y con respecto a base no al signo
ayudaria restando al principio (x)(p) tendriamos n<x
Bueno, primero una cosa, me
Bueno, primero una cosa, me complicó la lectura el que pusieras los coeficientes del otro lado de las variables. Aunque es lo mismo y no se requiere ser muy hábil para entender la notación, es desagradable para la vista, es como ponerte a ver fotos de lado, sí reconoces las cosas, pero cansa después de un rato.
Por otro lado, olvidaste explicar qué representan las variables $ x$, $ y$ y $ n$ en el problema. Eso hace casi imposible entender tu demostración. Pues de pronto aparecen ecuaciones que sólo se pueden entender si se adivina el significado de las variables. Por ejemplo, en tu explicación, pareciera que $ n$ es el número de canicas en la caja, pero luego esto se oscurece cuando dices que $ n = \{1, 2, 3\}$. Y la aclaración vuelve más confusas las cosas cuando dices que le vas a restar $ 4p$ al principio, pues tampoco explicaste quién es $ p$.
Bueno, de alguna manera u otra, creo que pude adivinar que $n = 4p + r$ y que $ r$ es el número que puede ser 0, 1, 2 o 3. Si es cero, se acaba el problema. Luego, entiendo que decidiste hacer $ p$ veces la primera movida (quitar 4 canicas) y entonces te quedan sólo $ r$ canicas (1, 2 o 3 canicas).
Luego, creo que la estrategia que planteaste es buscar $ x$ y $ y$, tal que al hacer $ y$ veces la movida 2 (poner 7 canicas) y después hacer $ x$ veces la movida 1 (quitar 4 canicas) se acaben las canicas. Cabe hacer notar que no tiene sentido que $ x$ e $ y$ sean negativos, pues no puede haber -2 movidas del tipo 1. Entonces, la ecuación que deben satisfacer $ x$ y $ y$ para que se pueda resolver el problema es:
$$r + 7y = 4x$$
Que es equivalente a $4x-7y=r$ (muy parecido a lo que señalabas $4x+7y+n=0$, pero ahora es mucho más claro).
Ahora bien, el resultado principal que escribí en la entrada Combinación lineal de enteros se puede interpretar como que $Ax+By = C$ tiene solución (en $ x$ e $ y$ por supuesto) si y sólo si $(A,B) |C$.
Por otro lado, tu dices que $4x+7y+n=0$ tiene solución si $(x,y)=-n$. Francamente, Casanova, aquí sí ya me perdí por completo. Si noto el parecido entre lo que yo dije y esto, pero siendo francos, es muy diferente. Podría decirte exactamente cuál es la diferencia, pero preferiría que tu me dijeras qué es lo que está mal o si realmente crees que está bien y por qué, o mejor aun, preferiría que leyeras nuevamente los resultados y que corrigieras esta afirmación:
Saludos,
hahahaha nooo eske nadamas
hahahaha nooo eske nadamas plante lo que se me vino ala mente, la ecuacion que dijiste que se parece ala ke debe ser y pss ndamas ise lo primero que pense, por eso te preguntaba si por ahi era masomenos o de otra forma para retro alimentarme :p hahaa lo checare bien
Saludos
yy empesare a usar el latex XD