Un acertijo de Lewis Carroll

Sea m el número de escuelantes y k el número de dólares de la última en el círculo. Después de cada ronda de donaciones cada una tiene un dólar menos que la anterior. (La primera dona un dólar, la segunda dos, ..., la m dona m.)

Entonces, eventualmente, la última se queda sin dólares. Y, sin embargo, cuando la última en el círculo se queda sin dólares estamos en la ronda k y la ronda k+1 inicia y continua hasta que llega a la penúltima escuelante en el círculo quien ya solamente tiene un dólar. Y al donar la cantidad recibida más ese dólar que le quedaba a la última en el círculo, ésta no puede ya añadir un dólar y hacer su donación a la primera.

Vamos a calcular la cantidad de dólares que recibe la último en el momento en que se para el proceso. Y esto porque solamente hay dos vecinas que pueden cumplir la condición: la última y la primera.

En la primera ronda la última en el círculo recibe m-1 y dona m. En la segunda ronda, la primera dona m+1 (puesto que recibe m), la segunda m+2, etc. hasta llegar a la penúltima quien recibe m+m-2 y dona m+m-1=2m-1 dólares a la última y ésta dona 2m dólares a la primera. Se puede concluir que en la ronda k, la última en el círculo dona km dólares a la primera y ésta dona km+1 dólares a la segunda, etc. hasta llegar a la penúltima quien recibe km+m-2 dólares y dona a la última km+m-1. En este momento el proceso se detiene pues la última no puede ya añadir un dólar a su donación.

Así que la última se queda con km+m-1.

Falta saber con cuánto se queda la primera. Para calcular esta cantidad, recordemos que la primera tiene uno más que la segunda y ésta uno más que la tercera, etc. Por tanto, la primera tiene dos más que la tercera y tres más que la cuarta, etc. Es decir, la primera tiene m-1 más que la m, o sea que la última. Pero la última tiene k. Así que la primera tiene k+m-1. Pero como ha donado k+1, entonces se queda con k+m-1-k-1=m-2.

En resumen, la última se queda con km+m-1 y la primera con m-2. Y la condición tiene que ser cualquiera de las dos siguientes:
km+m-1=4(m-2)

o

m-2=4(km+m-1)

Consideremos la primera posibilidad, la cual es equivalente a mk=3m-7. De aquí que m es divisor de 7. Y la única posibilidad es que sea m=7, y k=2. La otra ecuación no puede dar valores enteros positivos para k. Por tanto, la solución es única y es: el número de escuelantes sentadas en círculo son 7 y la última en el círculo empieza con 2 dólares.