Un corolario del PTF

1. Si $p$ es primo entonces $x^{2} \equiv 1 \mod p$ implica que $x \equiv 1 \mod p$ ó $x \equiv - \mod p$.

2. Por otro lado, el pequeño teorema de Fermat asegura que $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$ siempre que $a$ y $p$ son coprimos. Luego, al tenerse que

$\left(a^{\frac{p-1}{2}}\right)^{2} = a^{p-1} \equiv 1 \mod p$

la observación hecha en 1 implica que $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \mod p$ ó $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \mod p$.

Lo que supones al principio no es cierto, por ejemplo 7 es primo pero $3^2=+1mod7$ o $3^2=-1mod7$

se cumple alguna de las dos?

Nadamas hay que sacar que [a^p-1]^1/2 = 1^1/2  mod P    por el PTF... entonces de aqui ke

 [a^p-1]^1/2 = + - 1 mod p

Perdon pero no se usar muy bien el latex hahaha

Team Bernardo & Casanova :D

 hahahaha escribiendo con latex lo de casa es que

por el PTF que $a^{p-1}\equiv\ 1 \mod{p}$ y sacando raiz de los dos lados o elevarlo a la 1/2

y de ahi el resultado $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$

team $RESIDENT EVIL$ osea yo y casanova

@Brandon:

Creo que no se ha entendido mi aseveración 1. La voy a poner de otra forma:

Sea $p$ un número primo. Supongamos que $x$ es un entero que satisface $x^{2} \equiv 1 \mod p$ Se afirma entonces que $x \equiv 1 \mod p$ ó $x \equiv -1 \mod p$.

Para probarla sólo basta factorizar una diferencia de cuadrados y aplicar la regla de oro de la Aritmética.

Ahora debe resultar claro que la objeción que haces en realidad no procede, ¿qué no?

Otra observación: las otras propuestas de solución están empleando, de un modo u otro, lo que nos han requerido mostrar. Sabemos que las congruencias se preservan si elevamos ambos lados a exponentes positivos. En general, no tiene tanto sentido llegar y aplicar el análogo del procedimiento anterior a cualquier potencia real. En todo caso, la propuesta muestra que bajo ciertas condiciones adicionales sí resulta válido hacerlo.

Cierto, las congruecias no se preservan al elevar a potencias racionales. Veamos este ejemplo:

$$4^2 \equiv 1 \pmod{15}$$

Pero no es cierto que al tomar la raíz cuadrada (o bien, elevar a la potencia 1/2) se cumpla que:

$$4 \equiv \pm 1 \pmod{15}$$

Saludos