Una diofantina muy difícil

Usemos el cambio de variable $x=a, y^2=b, z^3=c.$ La ecuación se transforma a $a^2+b^2+c^2=2^{1111}$. El máximo común divisor de a,b,c divide a $2^{1111}$ --de otra manera no habría ninguna solución. Por tanto, podemos suponer MCD$(a,b,c)=2^k.$  De aquí que $a=2^k\cdotu, b=2^k\cotv,c=2^k\cdotw$, con $u,v,w$ coprimos. La ecuación queda de nuevo transformada a $u^2+v^2+w^2=2^{1111-2k}$.

Como los residuos cuadráticos respecto al módulo 4 son solamente 0,1, las posibilidades son 0,1,2,3 para el lado derecho. Pero como $u,v,w$ son coprimos, solamente uno de ellos puede ser par (con residuo 0, módulo 4). De aquí que las posibilidades para el lado derecho se reducen a 2 y 3. Finalmente, el lado derecho no puede dejar 3 de residuo en la división entre 4 --dado que es potencia de 2. De aquí que la única posibilidad es que deje 2 de residuo. Es decir, el exponente del lado derecho tiene que ser 1.

Esto nos lleva a concluir que $2k=1110.$ De aquí que dos de los tres multiplicadores $u,v,w$ son 1 y el otro es 0 ($1^2+1^2=2$). Pero $1110=2(3)(5)(37).$ Y, si recordamos que $x=a=2^k\cdotu, y^2=b=2^k\cotv,z^3=c=2^k\cdotw$, entonces $y$ tiene que ser 0 --dado que $2^{4r}=1110$ no tiene solución en enteros. Se concluye que $u=1, v=0, w=1,$ y $x=2^{555}, y=0, z=2^185.$