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Policías y ladrones --en un tablero
Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de 2001×2001. Ellos juegan alternadamente y cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:
(↓, abajo); (→, derecha); (↖, diagonal arriba a la izquierda).
Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:
Un elemento de la sucesión es negativo
La sucesión de números reales a1,a2,… se define como sigue:
a1=50 y an+1=an−1/an para cada entero n>0.
Demuestre que existe un entero k, 1≤k≤2002, tal que ak<0.
Escaleno con bisectriz
En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con D sobre AC. Sean E y F, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde A y C hacia la recta BD, y sea M el punto sobre el lado BC tal que DM es perpendicular a BC. Demuestre que ∠EMD=∠DMF.
Lugar geométrico del circuncentro
Un punto P es interior al triángulo equilátero ABC y cumple que el ángulo APC es de 120 grados. Sean M la intersección de CP con AB y N la intersección de AP con BC. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo MBN al variar P.
Nueve puntos en el plano
Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto P del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a P en su interior, es par.
Borrado selectivo y sucesivo de números en una lista
Los números enteros del 1 al 2002, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma 3k+1. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma 3k+1. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?
Cobertura imposible
Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.
Naves marcianas en una cuadrícula
En un tablero de 2000×2001 cuadros de coordenadas enteras (x,y), 0≤x≤1999 y 0≤y≤2000, una nave se mueve de la siguiente manera:
Número máximo de subsucesiones aritméticas crecientes
Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión a1<a2<...<an de n>3 números reales.
Nota: Tres términos ai,aj,ak de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si ai<aj<ak y aj−ai=ak−aj.
Desigualdad para cardinalidades de subconjuntos
Sean S un conjunto de n elementos y S1,S2,…,Sk subconjuntos de S (k≥2), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos r elementos. Demostrar que existen i y j, con 1≤i<j≤k tales que la cantidad de elementos comunes de Si y Sj es mayor o igual que r−nk4(k−1)
