Publicaciones Recientes
Entrenamiento rumbo a la OMM 2015
Este es un entrenamiento de prueba.
La intención es usar la plataforma para organizarnos y mantener comunicación. Se me ocurre que podemos poner tareas, compartir soluciones y sobre todo resolver dudas.
Con el tiempo esperamos entender mejor cómo usar esta plataforma. Tanto participantes como entrenadores.
Desigualdad de Titu --una demostración booteable
Voy a presentar en este post una forma de demostrar la desigualdad de Titu Andreescu que recuerda los procesos de bootstraping utilizados en computación --y otras áreas de la ciencia. El término bootstrapping está inspirado --verosímilmente-- en Las Sorprendentes Aventuras del Baron de Munchausen. (Una serie de narraciones donde el héroe realiza tareas imposibles.) Atacho una traducción al español.
Mediatrices que pasan por un punto fijo
Sea ABC un triángulo acutángulo y P,Q puntos sobre AB y AC respectivamente, tal que AP=CQ. Demostrar que la mediatriz de PQ pasa por un punto fijo al variar P.
XXVIII OMM --resultados para Tamaulipas
Germán 27 plata (corte en 35)
Alain 21 bronce
José Luis 16 bronce
Jesús 13 mención
El corte para los oros en 35 significa --leyendo entre líneas-- que el examen estuvo relativamente fácil. Y también que aún si Germán hubiera resuelto el 2 (con lo cual habría obtenido 33 puntos) de cualquier manera el oro le quedaba a 2 puntos de distancia.
Examen de la XXVIII OMM. Segundo día.
A continuación el examen del segundo día de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas que se está aplicando a los concursantes el día de hoy en Toluca.
Problema 4 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
Problema 5 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
Problema 6 de la XXVIII OMM Segundo Día. Toluca 2014
XXVIII OMM Problema 6
Para cada entero positivo n, sea d(n) la cantidad de divisores positivos de n. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que d(6)=4.
Encuentra todos los enteros positivos n tales que
n+d(n)=d(n)2.
XXVIII OMM Problema 5
Sean a, b y c números reales positivos tales que a+b+c=3. Muestra que a2a+3√bc+b2b+3√ca+c2c+3√ab≥32.
XXVIII OMM Problema 4
Sea ABCD un rectángulo con diagonales AC y BD. Sean E el punto de intersección de la bisectriz del ángulo ∠CAD con el segmento CD, F el punto sobre el segmento CD tal que E es el punto medio de DF y G el punto sobre la recta BC tal que BG=AC (con C entre B y G).
Muestra que la circunferencia que pasa por D, F y G es tangente a BG.
Examen de la XXVIII OMM. Primer día.
Hoy se aplicó el examen del primer día de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Aquí una foto de la selección Tamaulipas 2014.
A continuación los 3 problemas, comenta o deja tu solución en la página de cada problema:
XXVIII OMM Problema 3
Sean Γ1 una circunferencia y P un punto fuera de Γ1. Las tangentes desde P a Γ1 tocan la circunferencia en los puntos A y B. Considera M el punto medio del segmento PA y Γ2 la circunferencia que pasa por los puntos P, A y B. La recta BM interesecta de nuevo a Γ2 en el punto C, la recta CA intersecta de nuevo a Γ1 en el punto D, el segmento DB intersecta de nuevo a Γ2 en el punto E y la recta PE intersecta a Γ1 en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas AF, BP y CE concurren.