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XXVIII OMM Problema 5
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.
XXVIII OMM Problema 4
Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$).
Muestra que la circunferencia que pasa por $D$, $F$ y $G$ es tangente a $BG$.
Examen de la XXVIII OMM. Primer día.
Hoy se aplicó el examen del primer día de la XVIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Aquí una foto de la selección Tamaulipas 2014.
A continuación los 3 problemas, comenta o deja tu solución en la página de cada problema:
XXVIII OMM Problema 3
Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.
Reducción de números
Un entero positivo $a$ se reduce a un entero positivo $b$, si al dividir $a$ entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, 2015 se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número 1. Por ejemplo, el número 12 es uno de tales enteros pues 12 se reduce a 6 y 6 se reduce a 1.
Coloración en números del 1 al 4027
Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.
Sobre el problema 3 del selectivo final
El problema y la solución de Germán
Selección Tamaulipas OMM_2014
La suerte fue echada el domingo 12 con el selectivo final y los dados muestran hoy los resultados. Tenemos selección y MaTeTaM felicita a sus integrantes:
Germán Puga Castillo
Roberto Alain Rivera Bravo
José Luis Domínguez Rodríguez
Julio Cesar Sandoval de la Cruz
Roberto Llanos Hernández
Jesús Francisco Anaya González
Vaya una felicitación muy especial para Jesús, un joven con mucho futuro en la olimpiada (podrá ir en 2015 y 2016) --bueno si, como me gustaría esperar, no se estaciona en los bronces....
Los saluda
jmd
Selectivo final (OMM_Tam_2014)
1. Los números del 1 al 28 se acomodan al azar en una cuadrícula de $4\times7$ (4 filas y 7 columnas, un número en cada cuadrito). A continuación se consideran los productos $P_1$ de todos los números en la primera fila, $P_2$ el de todos los números en la segunda fila y, de la misma manera, se obtienen $P_3$ y $P_4$. Demuestra que alguno de estos cuatro productos es múltiplo de 128.
2. Sea K un punto sobre el arco AB del circuncírculo del triángulo isósceles $ABC$ (con AB=BC). Demuestra que $$AK\cdot{KC}=AB^2-KC^2$$
