Publicaciones Recientes

Problema

P6 OMM 2000. Configuración sobre un triángulo obtusángulo

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:27.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle{B} >90$ y en el que un punto $H$ sobre $AC$ tiene la propiedad de que $AH = BH$ y $BH$ es perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por $H$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $DE$ en $F$. Prueba que $\angle BCF = \angle ACD$.
 

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P5 OMM 2000. Operación sobre rectángulos --en tablero nxn

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:24.

Se tiene un tablero de $n\times n$, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:

  • Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
  • invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.

Encuentra para qué valores de $ n $ es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).

Problema

P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:20.

Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:

  • El primer número es 5 y,
  • a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.

(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)

¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?

Problema

P3 OMM 2000. Regla aditiva --de formación de un conjunto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:07.

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:

  • Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
  • luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.

Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).

Problema

P2 OMM 2000. Triángulo de números --con regla simple de formación

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:59.

Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.

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P1 OMM 2000. Puntos de tangencia concíclicos

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:56.

Sean $A, B, C, D$ circunferencias tales que $A$ es tangente exteriormente a $B$ en $P$, $B$ es tangente exteriormente a $C$ en $Q$, $C$ es tangente exteriormente a $D$ en $R$, y $D$ es tangente exteriormente a $A$ en $S$. Supón que $A$ y $C$ no se intersectan, ni tampoco $B$ y $D$.

  • Prueba que los puntos $P, Q, R$ y $S$ están todos sobre una circunferencia.

Supón además que $A$ y $C$ tienen radio 2, $B$ y $D$ tienen radio 3, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es 6.

  • Determina el área del cuadrilátero $PQRS$.
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P6 OMM 1999. Cubrimiento con fichas de dominó

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:23.

Se dice que un polígono es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de $2 \times1$ (sin que éstos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par.

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P5 OMM 1999. Bisectrices exteriores de trapecio

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:20.

$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersectan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersectan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$.

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P4 OMM 1999. Diez cuadros marcados en tablero de ajedrez

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:17.

En una cuadrícula de $8\times8$ se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se han marcado sus centros. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos dos puntos marcados que están separados una distancia menor o igual que $\sqrt{2}$, o que existe al menos un punto marcado que se encuentra a una distancia $1/2$ de una orilla de la cuadrícula.
 

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P3 OMM 1999. Hexágono en triángulo: razón de áreas y concurrencia

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 19:11.

Considere un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ y
$F$ los puntos medios de $AP, BP$ y $CP$ respectivamente y $L, M$ y $N$ los
puntos de intersección de $BF$ con $CE$, $AF$ con $CD$ y $AE$ con $BD$.

  • Muestre que el área del hexágono $DNELFM$ es igual a una tercera parte del área del triángulo $ABC$.
  • Muestre que $DL, EM$ y $FN$ concurren.
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