Examen de prueba para el estatal

Que mejor manera de prepararse que un examen para calentar, pueden intentar hacerlo lo más parecido a un examen normal, es decir separan 4 horas de su tiempo y lo intentan resolver en ese lapso. De cualquier manera, es importante que los resuelvan. Tal vez subamos las soluciones en próximos días. 

Saludos

germán

Soluciones.

Problema 1: Primero hay que responer la pregunta: ¿De cuántas maneras puedes expresar un entero n como suma de tres números sin que el primero sea cero?

Si expresaramos n como suma de dos y permitiendo que el primero pueda ser cero, obtendriamos que se puede descomponer como suma de dos números de n+1 maneras, estas serían $0+n, 1+(n-1), \cdots, n+0$ ahora para expresar a n, como suma de tres; si el primero es 1 los otros dos suman n-1 y habria n números; si el primero es dos entonces los otros dos sumarian n-2 y habria n-1 números y asi sucesivamente. Podemos ver que es $n+ (n-1) + \cdots + 1 $ esta suma la llamaré S(n) para quienes no lo sepan $ S(n) = \frac{n(n+1)}{2}$.

Regresando al problema, primero usaré lo que acabo de escribir para los siguientes casos:

La suma de dígitos es 3:  Si suma tres entonces ya es divisible por él, dado su criterio. Solo hay que expresar a tres como suma de cuatro digitos, el último digito puede ser 0,1 ó 2 y los demás deben sumar 3,2 ó 1 respectivamente, pero ya sabemos cuantas maneras hay de expresar cierto número como suma de tres entonces hay S(3) + S(2) + S(1) =10 números.

La suma de dígitos es 5: La unidad es cero o cinco dado su criterio, no puede ser cinco asi que debe ser cero, los otros tres deben sumar cinco y hay S(5) = 15 números que cumplen esto.

La suma de dígitos es 6: La unidad puede ser 0,1,2,3,4,5 y los restantes deben sumar 6,5,4,3,2,1 respectivamente y como en los demás casos se puede ver que hay S(6) +S(5) +S(4)+S(3)+S(2)+S(1) = 34 números.

La suma de dígitos es 1: Solo 1000 funciona.

Es dos: Hay tres  2000,1010 y 1100.

Es cuatro: Este es el que se me dificultó más. Los dos ultimos digitos pueden ser 00,12 ó 20 hay que hacer cada uno y ver que son 7 números.

En total hay 70 números.

Problema 2: AB=3.  $M$ es el punto medio de AB y P un punto en AB tal que RP es paralela a AC. Hay que notar que $\Delta ARM$ es rectángulo e isósceles. Entonces por teorema de tales $RP= \frac{RP}{AC} = \frac{BP}{AB} = 3/4$. Entonces AM= 3/2. 

Aquí hay que recordar que la mediana del ángulo recto de un triángulo rectángulo mide la mitad que la hipotenusa. ¿No quedamos que iban a estudiar las propiedades de los triángulos rectángulos?

Esta solución es de Patty Uresti.

Problema 3:  Hay que llegar al que el cubo del que estamos hablando tiene dimensión 5. (Con los más grandes nos pasamos de cubitos no pintados y con los chicos, no alcanzan). Dentro de este cubo, hay uno dimensión tres tal que ninguno de sus cubitos ha sido pintado. Esto nos deja 125-27=98 cubitos exteriores y 45-27=18 cubitos exteriores sin pintar es decir 80 cubitos si se pintaron. Si coloreamos 4 caras de manera que las no pintadas sean opuestas, entonces en cada una de estas caras  quedará un cuadrito de 3x3 en el centro que no han sido coloreados y esto nos deja 9x2=18 cubitos que no fueron pintados, los que nos faltaban. Entonces la respuesta es 4 caras.

Problema 4: Si A son los números del 1 al 10 y B los restantes se cumple. Pues en ambos hay la misma cantidad de múltiplos de 3 que no lo son de nueve y la misma cantidad de múltiplos de nueve, tambien hay dos múltiplos de cinco en cada conjunto y un múltiplo de siete en cada uno. Solo falta ver que los exponentes dos, en el producto de A es menor o igual a los exponentes dos en el producto de B, los pares de A son 2,4,6,8 y 10 esto hace que su producto tenga un 8 en el exponente de dos en la factorización en primos. Los de B son 12,14,16,18 y 20 esto hace que el producto de B tenga un 10 en el exponente de dos en su factorización en primos. Era lo único que necesitabamos.

Esta solución es de Jesús Anaya.

Cualquier duda la pueden dejar en los comentarios. 

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