El domingo 18 los preseleccionados presentaron la segunda parte del selectivo final, enseguida se muestran los resultados. MaTeTaM felicita a sus integrantes:
Roberto Alain Rivera Bravo
Jesús Roberto Llanos Hernández
Jesús Francisco Anaya González
Ingrid Amaya Chávez
Julieta Monserrat Meléndez Calvo
Germán David Contreras Sarreón
El examen que presentaron es el siguiente:
Problema 4. Se colocan $N$ monedas en puntos enteros de una recta numérica. Un movimiento consiste en elegir dos de ellas y a la primera moneda moverla una unidad a la derecha y a la segunda moverla una unidad a la izquierda. ¿En qué lugares deberian estar las monedas al principio para que sea posible mover todas las monedas a un solo punto?.
Problema 5. Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. $E$ y $F$ son puntos tales que $AFB$ y $CEB$ son triángulos equiláteros hacia adentro del paralelogramo. La recta $DF$ intersecta a $CB$ en $G$ y la recta $DE$ intersecta a $AB$ en $H$. Mostrar que $GH$ es paralela a $FE$.
Problema 6. Sea $n$ un entero positivo mayor que 1. Los divisores positivos de $n$ se ordenan $ 1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$. Mostrar que $$ n^2 > d_1^2 + d_2^2 + \cdots + d_{k-1}^2 + n $$.
Las soluciones y comentarios se dejan a cargo de los lectores.
Finalmente, extiendo de nuevo una felicitación para los seleccionados, confiamos en que están conscientes del significado de representar a Tamaulipas en el concurso nacional. Y que trabajarán muy fuerte para conseguir buenos resultados.
-Germán.
Ahí, va mi solución al
Ahí, va mi solución al problema 6.
Notemos que si $d_i$ es un
Notemos que si $d_i$ es un divisor de $n$ entonces existe un $d_j$ que tambien es divisor de $n$ tal que $d_j=\frac{n}{d_i}$ Además de que los $d_j$ estan en orden inverso a los $d_i$ con esto el problema es equivalente a.
Ahora notemos que $d_i\geq i$ para todo $i\in{\{ 1,2,...,k \}}$ con esto tendremos que
$\frac{1}{(d_k)^2}+\frac{1}{(d_{k-1})^2}+.......+\frac{1}{(d_2)^2}+\frac{1}{d_k}\leq \frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k-1)^2}+.......+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{k}$
con lo que sera suficiente probar que
Excelente demostración, muy
Excelente demostración, muy bien lograda. Y tu redacción como siempre muy clara.
No tengo mucho que decir, sólo te sugiero que para poner los puntos suspensivos dentro de las fórmulas utilices:
\cdotsPor ejemplo,
$a_1 + a_2 + \cdots + a_n$Se vería así: $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
Saludos
Hola Jesús, Gracias por la
Hola Jesús,
Gracias por la sugerencia, podrias darme una idea o algún punto de partida para este problema de la Ibero.
http://www.matetam.com/problemas/trigonometr/desigualdad-trigonom-trica#comment-3010
Saludos.