Después de una exposición sobre el concepto de límite en cálculo, deliberadamente dejé en el pizarrón el siguiente ejemplo:
Entonces puse el siguiente ejercicio de refuerzo:
Casi inmediatamente alguien pidió pasar al pizarrón. Su respuesta fue ésta:
La conceptualización como formación de categorías
¿Cómo es el mecanismo de asociación (o conexión) entre cosas (o palabras) con ideas en la mente del individuo medio?
Esta pregunta es obligada para los publicistas --y también posiblemente para un profesor de matemáticas interesado en la didáctica. Más específicamente: ¿Cómo se categoriza? Es decir ¿Cómo se pasa de lo particular a lo general? ¿Cómo se llega al caso general a partir de los casos particulares?
Es sabido que los niños, al aprender el lenguaje, al aprender a asociar las palabras con los objetos a que se refieren, llegan a distinguir el gua gua de otros animales. Y, aunque al principio le llama gua gua solamente al perro del vecino, poco a poco forma en su mente la clase perro --es decir, cuando ve un perro sabe que es un perro. En ese momento ha formado una categoría de las cosas del mundo, es decir, ha generalizado. Y claramente esto lo hace sin ninguna formación en lógica aristotélica. ¿Cómo lo hace?
Aires de familia y la teoría de prototipos
Una respuesta reciente la ha dado la teoría de prototipos en la disciplina denominada psico-lingüística o lingüística cognitiva. La teoría de prototipos sostiene que la categorización de los objetos del mundo es gradual (y posiblemente esté inspirada en el concepto filosófico "aires de familia" planteado por el Segundo Wittgenstein en sus Investigaciones Filosóficas).
Según esta teoría, de cada categoría hay un ejemplo prototipo. Por ejemplo, la silla para la categoría muebles. Es decir, algunos miembros de la clase o categoría son privilegiados --tienen prioridad-- como ejemplos de la categoría (algunos muebles son más muebles que otros, algunos perros son más perros que otros). Y estos ejemplos privilegiados (la silla) son las representaciones cognitivas de la categoría semántica (muebles), en la mente de las personas.
Incidentalmente, el paper que originó la teoría de prototipos se llama Cognitive Representation of Semantic Categories. En ese paper (de 1975) Eleanor Rosh da cuenta de los resultados de varios experimentos en los que demuestra que el nombre de la categoría semántica tiene un efecto en la percepción de los individuos: evocan el ejemplo prototipo.
Consecuencias prácticas de la categorización
Sin embargo, el prototipo puede estar condicionado por la cultura. El ejemplo prototipo de conejo (creo) podría se Bugs Bunny --dada la influencia de la TV y la empresa Disney. ¿Qué es lo que hace al conejo Bugs más conejo que otros conejos?
Bueno, aparte de que Bugs Bunny es mas bien una liebre, el conejo Bugs es quizá el primer "conejo" que la mayoría de la gente conoció. Pero, además, exhibe las características de un conejo (la mayoría de las personas no distinguen el conejo de la liebre) y por esa razón el conejo Bugs es la representación mental de un conejo para la mayoría de las personas --todos los conejos tiene un aire de familia con Bugs Bunny.
Como se puede concluir de este ejemplo, la teoría de prototipos tiene sus problemas (incluso está en cuestión el hecho de que sea una teoría científica). Pero tiene la ventaja de que representa o explica la forma en que los humanos formamos y usamos las categorías y las clasificaciones de los objetos. Para el común de la gente el prototipo representa la clase y no se anda fijando en los casos extremos o anómalos (¿Es el murciélago un pájaro?)
Al clasificar un objeto del mundo dentro de una clase o categoría conocida, siguiendo el parecido con el prototipo (el aire de familia que con él tenga), puede resultar en una categorización errónea.
Sin embargo, el error podría ser eventualmente corregido por los miembros deuna comunidad para la cual la distinción entre la categoría A y la B es importante. Por ejemplo, un campesino se sonreirá cuando (o hará un chiste de) un citadino (que) identifique una liebre como un conejo. Y esa sonrisa o chiste es ya una especie de retroalimentación que el citadino puede o no tomar en cuenta, pues a final de cuentas para él no es importante la distinción entre conejo y liebre --su error no tiene ninguna consecuencia en la práctica.
De manera similar, el estudiante que resolvió el ejercicio de límites siguiendo puramente el aspecto visual del ejemplo en el pizarrón, obtendrá su retroalimentación de sus compañeros de clase o bien del profesor --aunque éste posiblemente lo dude y tenga que elaborar una forma políticamente correcta para hacerlo dado que podría ser acusado de intolerancia hacia la diversidad.
En el sentido de Wittgenstein, imaginar un lenguaje es imaginar una forma de vida --es decir, una comunidad de usuarios de ese lenguaje. (¿Pero qué haces cuando para esa comunidad de usuarios la distinción entre una categoría A y una B es indiferente? Es decir ¿qué haces cuando el error no tiene ninguna consecuencia en la práctica?)
Los saluda
jmd
PD: Ya se que el ejemplo inicial es una antigua math joke. Pero les prometo --como diría el español-- que es verídico... posiblemente mi alumno la conocía y aprovechó la ocasión para reconstruirla en mi curso... y a mí me dio la oportunidad de escribir este post...
Ver también:
Aires de familia
Por eso creo que es
Por eso creo que es importante trabajar la comunicación en el aula, si no se hace, el alumno no tendrá incentivo para hacerle sentido a muchos conceptos matemáticos. Categorías como polígono, cuadrado, triángulo, rectángulo, etcétera son fáciles de entender y clasificar, pero no tiene sentido hacerlo, si no son empleados para la comunicación. Lo mismo ocurre con otros conceptos.
La comunicación en la educación Matemáticas es algo que se propuso en la reforma secundaria y espero que la reforma al bachillerato sirva para impulsar más aun este aspecto.
Saludos
Bueno, no estoy seguro de si
Bueno, no estoy seguro de si la construcción del sentido pueda ser incentivada con la mera comunicación (aunque tampoco me quedó claro qué quieres decir con "comunicación").
El campesino aprende a distinguir conejo de liebre gracias a una cuestión culinaria muy práctica: distinto sabor y distinta cochura. Y aunque la comunicación no está ausente ("Ay, no mijo, no me traigas liebre, porque es muy difícil quitarle el sabor a chuquía..."), el verdadero incentivo proviene de las comunicaciones conjuntas de la comunidad --proviene de lo que es valorado en ella.
Voy a darle la palabra aquí a Abraham Arcavi, un argentino emigrado a Israel, en donde obtuvo una maestría (1981) y un doctorado (1985) en Educación Matemática. Actualmente es una de las "vacas sagradas" en su campo.
Muchas gracias por su
Muchas gracias por su respuesta. La verdad me ha costado trabajo entender el comentario y no se siquiera si lo entendí del todo. Si me lo permite, voy a dar una opinión a pesar de ello y a pesar que lo único que he leído es lo que está en esta página.
Hay dos cosas que creo que son diferentes y tal vez ahí está mi confusión: "teoría de prototipos" y "sentido del símbolo".
Yo lo que opino, en el marco de la teoría de prototipos (o lo que entendí de ella), es que la categorización de lo objetos matemáticos se logrará mejor si se incentiva la comunicación en el aula.
Y estoy de acuerdo con usted, en que el sentido del símbolo (o lo que entendí de el) no puede lograrse en el aula con pura cognición y mucho menos con pura comunicación. Pues se trata de una nivel de comprensión más avanzado de los conceptos matemáticos.
Espero que esta observación, le convenza o le aclare un poco más mi postura. O tal vez le haga ver... no sé,... digamos, que estoy razonando fuera del hoyo.
Saludos