La prueba ENLACE se aplica en abril. Por esa razón MaTeTaM ha decidido dedicarle alguna atención como una forma de apoyar a los profesores y alumnos que ya iniciaron o están por iniciar su preparación para esa importante Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares. En un post anterior recomendé resolver la prueba en línea (http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/enlace-2011-se-acerca-preparate-hoy ), y en otro posterior discutí un problema de ENLACE Bachillerato 2010 (http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/juego-evocaciones-un-problema-enlace). Este es el tercero de esa serie y lo dedico a comentar y resolver 11 preguntas de ENLACE Bachillerato correspondientes al examen 2008.
Introducción
Elegí los problemas de acuerdo al criterio de que no fueran una aplicación directa de una fórmula o un procedimiento, sino que más bien necesitaran de un razonamiento previo y/o la combinación creativa de dos o más fórmulas y/o procedimientos.
Por supuesto que hay preguntas en ENLACE que se responden aplicando directamente una fórmula o procedimiento (las cuales medirían una competencia de más bajo nivel que las aquí presentadas).
Por ejemplo: 1) Alejandro hace de su casa a la escuela 0.25 más 0.50 de hora. ¿Cuánto tiempo (en minutos) hace en realidad? o 2) Analiza la función $y=2^x+3x^2-5x+3$ y encuentra su valor cuando $x=2$. En la primera, la conversión es directa: cuarto de hora más media hora y claramente la respuesta es 45 minutos; en la segunda, basta con sustituir.
No quiero decir que este tipo de preguntas no sean importantes, pero las competencias que miden son la condición sine qua non para resolver las que aquí se presentan. (Las preguntas de ENLACE elegidas aquí están muy cerca de las olímpicas --en sus primeras etapas de selección.)
Las preguntas (con respuesta)
1. Simplificar la siguiente expresión
$$\root{10}\of {8^{33}+8^{33}}$$
Respuesta: $2^{10}$
2. Simplificar la expresión $$\frac{1}{ 2-\frac{1}{ 2-\frac{1}{ 2-\frac{1}{2} } } }$$
Respuesta: 4/5
3. Encuentra el valor de $x$ que satisface la ecuación
$$x-\sqrt{x^2-8}=4$$
Respuesta: $x=3$
4. Cuatro triángulos equiláteros de lado 1 se acomodan formando un paralelogramo. Calcular las longitudes de sus diagonales.
Respuesta: La diagonal mayor mide $\sqrt{7}$
5. Dos cuadrados, uno de lado 3 y el otro de lado 6 se unen formando un escalón como en la figura. Calcular el área del triángulo sombreado.
Respuesta: 3
6. Diez círculos de diámetro 1 se colocan tangentes entre si como se muestra. Calcular la longitud mínima de una cuerda para rodear la figura.
Respuesta: 12.14
7. Tres cuadrados de lados 10, 8 y 6 unidades se yuxtaponen como se muestra en la figura. Calcular el área de la parte sombreada.
Respuesta: 80
8. Un trapecio isósceles tiene una base mayor de longitud 20 y la menor mide 10. Si los lados miden 13/2 ¿cuánto mide la altura?
Respuesta: $h=\sqrt{69}/2$
9. Hace 12 años el padre tenía cuatro veces la edad del hijo y dentro de 12 su edad será solamente el doble ¿cuántos años tienen?
Respuesta: 24 y 60.
10. El área de un rectángulo es de $10x^2+15x$. Si el largo mide $5x$ ¿cuál es su ancho?
Respuesta: $2x+3$
11. Un rectángulo se divide en cuatro rectángulos como se muestra en la figura. Los números representan áreas. ¿Cuánto vale x?
Respuesta: $x=10$
Las soluciones
Comentario general
Es importante que el alumno abandone la idea de que la respuesta a la pregunta ENLACE solamente tiene que elegirla de entre las cuatro opciones que se le presenten. Y que adopte la actitud de que primero debe hacer los cálculos y/o razonamientos necesarios para elegirla de manera informada. ¡Las preguntas de ENLACE no son fáciles!
1.
Comentario: Hay que saber que $\root{n}\of{a^n}=a$ (si $a$ es positivo). Con este hecho en mente, lo que sigue es tratar de factorizar y/o manipular la expresión subradical hasta llegar a un punto en que la solución se hace obvia.
Solución: La cantidad subradical se puede poner como $2\cdot{(8^3)^{11}}=2\cdot{(8^3)}\cdot{(8^3)^{10}}=2^{10}\cdot{(8^3)^{10}}$ y se aprovecha el hecho de que $8^3=(2^{3})^3=2^9$.
Grado de dificultad: es alto (incluso para un alumno que ha hecho todas las tareas --porque seguramente nunca ha tenido que resolver un problema de este tipo).
Competencia que evalúa: uso fluido de la jerarquía de operaciones y las leyes de los exponentes.
2.
Comentario: La expresión es compleja y puede llegar a asustar al estudiante (y ponerlo en estado de nerviosismo ansioso). Contra ese efecto psicológico no hay más que saber cómo se resuelve: empezar a simplificar por el último denominador.
Solución: $2-1/2=3/2$, por tanto el penúltimo denominador es $2-2/3=4/3$, así que el antepenúltimo denominador es $2-3/4=5/4$: Es decir, la fracción es equivalente a 4/5.
Grado de dificultad: alto.
Competencia que evalúa: manipulación de fracciones y jerarquía de operaciones.
3.
Comentario: La dificultad es la raíz cuadrada, la cual hay que aislarla a un lado de la ecuación y elevar ambos miembros al cuadrado.
Solución: La expresión es equivalente a $(x-4)^2=x^2-8$, la cual se simplifica a $-8x+16=-8$ o $x=3$, el valor que satisface la ecuación.
Grado de dificultad: medio.
Competencia que evalúa: manipulación algebraica de ecuaciones.
4.
Comentario: Hay que saber que la altura de un equilátero es mediatriz (y mediana). Una vez viendo eso, la solución es por Pitágoras.
Solución: Como ejercicio de imaginación y para ahorrarme la figura, supongamos que el primer triángulo de izquierda a derecha está en la
posición típica con una de sus lados hacia abajo descansando sobre la horizontal. Para la diagonal menor, bajamos una perpendicular del vértice a la base. Debería ser claro que esta altura mide $\sqrt{3}/2$ y que es cateto en el triángulo rectángulo formado por ella, la diagonal y el segmento que va de su pie a la esquina inferior derecha del paralelogramo, el cual mide 1/2+2=3/2. De aquí que, por Pitágoras, la diagonal menor mide $\sqrt{3}$. De manera similar se obtiene la diagonal mayor (se deja como ejercicio).
Grado de dificultad: Medio.
Competencia que evalúa: Uso de trazos auxiliares en geometría y del teorema de Pitágoras.
5.
Comentario: Se tiene la base, falta la altura. ¿Se puede calcular? Sí. Por semejanza: 6/9=h/3. De hecho, es simple proporcionalidad: "en 9 es 6, en la tercera parte es..." (Un conocimiento casi intuitivo.)
Solución: Por simple proporcionalidad se obtiene que la altura es 2. Por tanto, se aplica la fórmula del área y se obtiene que el área de la parte sombreada es 3(2)/2=3.
Grado de dificultad: Medio.
Competencia que evalúa: Uso del razonamiento proporcional.
6.
Comentario: El problema es difícil porque la cuerda se tensaría en las circunferencias esquineras sobre una parte de éstas. Pero ¿qué tanto? Es decir ¿qué fracción de su perímetro? Hay que saber que la tangente es perpendicular al radio al punto de tangencia, pero también saber usar ese hecho en el contexto del problema. Notemos aquí dos niveles de competencia: ¿qué ángulo forma la tangente con el radio al punto de tangencia? ¿puedes usarlo para resolver este problema?
Solución: Primero hay que darse cuenta que el tramo de cuerda entre los dos puntos de tangencia extremos es dos radios y dos diámetros. Es decir, mide 3 unidades. Después hay que calcular el tramo adherido a la circunferencia esquinera. Para calcularlo hay que pensar en el equilátero con lados tangentes a las circunferencias orilleras y trazar los radios a los puntos de tangencia en una circunferencia esquinera para formar un cuadrilátero con el ángulo del equilátero. Tenemos dos ángulos de 90 y uno de 60. ¿Cuánto mide el cuarto? Mide 120 ¿no es cierto? ¿Y qué fracción es 120 grados de una vuelta completa? La tercera parte ¿cierto? De aquí que, en las esquinas, el tramo de cuerda adherido es de $\pi/3$. Pero son tres esquinas. Por tanto, la respuesta es $9+\pi=12.14$
Grado de dificultad: alto.
Competencia que evalúa: conocimientos elementales de la geometría del círculo y su uso en resolución de problemas (uso en contexto).
7.
Comentario: Fácil. Pero solamente si puedes ver que el área se obtiene de manera indirecta como "toda menos el área sobrante" (toda es la suma de las áreas de los tres cuadrados, y la sobrante es un triángulo rectángulo).
Solución: El área sobrante es (10+8+6)5=120. Y el área total es 100+64+36=200. Por tanto, el área sombreada es 80.
Grado de dificultad: Bajo.
Competencia que evalúa: Razonamiento geométrico elemental.
8.
Comentario: Solamente requiere para su solución simetría y Pitágoras.
Solución: Por los datos y la simetría del trapecio isósceles, la altura se calcula con Pitágoras: $h^2+25=(13/2)^2$. Es decir, $h=\sqrt{69}/2$.
Grado de dificultad: Medio.
Competencia que mide: Razonamiento geométrico elemental (con Pitágoras y simetría).
9.
Comentario: Un problema razonado clásico de traducción directa a ecuaciones. (Lo cual no lo hace necesariamente fácil...)
Solución: Hace 12 años todos teníamos 12 años menos y dentro de 12 seremos 12 años más viejos. Por tanto, $p-12=4(h-12)$ y $p+12=2(h+12)$.
Simplificando se obtiene: $p=12+4h-48=4h-36$ y $p=2h+12$. Resolviendo se obtiene que el hijo tiene 24 y el padre es un recién llegado a la tercera edad.
Grado de dificultad: medio.
Competencia que evalúa: Modelación matemática y resolución de ecuaciones.
10.
Comentario: Elemental... pero no para quien nunca ha hecho las tareas. Basta saber que el área del rectángulo es largo por ancho. Así que si el ancho es $5x$, el largo debe ser un factor del área. Pero en el área se puede factorizar el $5x$...
Solución: $10x^2+15x=5x(2x+3)$. Por tanto, el largo es $2x+3$.
Grado de dificultad: Medio.
Competencia que evalúa: Razonamiento algebraico en geometría elemental.
11.
Comentario: Un ejercicio elemental de inferencia.
Solución: $21=3(7)$ y $15=3(5)$. Se infiere que la altura de los rectángulos superiores es 3. Pero también que la base del rectángulo de área $x$ es 5. Para saber su altura basta ver que $14=2(7)$. Es decir, su altura es 2. Por tanto, $x=10$.
Grado de dificultad: Medio.
Competencia que evalúa: Inferencia a partir de datos (usando el conocimiento de área de un rectángulo).
Epílogo
Las preguntas anteriores y sus soluciones pueden ser usadas para un taller de dos días sobre las preguntas de matemáticas de la prueba ENLACE Bachillerato --orientado a una audiencia de profesores de matemáticas de bachillerato.
Con un esfuerzo adicional se podrían recopilar preguntas parecidas de la prueba ENLACE Bachillerato 2009 y 2010, las cuales se dejarían como ejercicios y como temas de discusión. Sería necesario también, a manera de institucionalización, una discusión de las estrategias de resolución y la teoría y técnicas que quedan como telón de fondo en esas preguntas, y que seguramente forman parte del currículum del bachillerato (por lo menos a partir del año pasado en que entró en vigor la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS)).
Los saluda
jmd
Ver también:
ENLACE 2011 se acerca (prepárate desde hoy)
Pues yo he presentado
Pues yo he presentado el ENLACE 2008,2009 y 2010 a nivel bachillerato y las preguntas no estan tan dificiles como las 11 que planteaste aqui, pero si son algo parecidas, gracias tus planteamientos a las soluciones de estos problemas me ayudaran en mi estudio para el ENLACE de este año.