Creo que puede ser de alguna utilidad para los lectores de MaTeTaM la discusión de dos demostraciones del conocido teorema que dice:
El reflejo del ortocentro en el espejo de cualquier lado del triángulo pertenece al circuncírculo.
Una de ellas procede reflejando $H$ en un lado (digamos $BC$) y demuestra que ese reflejo (digamos $H'$) pertenece al circuncírculo; la otra toma el punto $H'$ de intersección de la altura (digamos $AH$) con el circuncírculo y demuestra que $H'$ es el reflejo de $H$ (en $BC$).
Lo que quiero mostrar en este post es que las técnicas o métodos de demostración son más importantes que el teorema mismo --desde la perspectiva del problem solving. Nótese que cada una de ellas usa una estrategia de demostración diferente. No estaría de más que el lector se apropiara de ellas para su uso futuro.
Voy a presentarles el guión de cada una de esas demostraciones y a comentar sobre la relación de una de ellas con el problema 3(G) del concurso estatal. Espero que valga como una pequeña aportación de MaTeTaM al entrenamiento de los preseleccionados que no tengan especial aversión a la geometría y que estén abiertos a adoptar y usar nuevos conocimientos.
Primera forma (caso del ortocentro dentro del triángulo)
1. Figura con ortocentro H y su reflexión H' en BC (plan: demostrar que H' está el circuncírculo).
2. Figura con diámetro AP añadido.
3. Figura con HP añadido y D la intersección de BC y HP.
4. Figura con BH y PC (en línea punteada) añadidos.
5. Descubrir y argumentar que BH//PC.
6. Figura con CH y BP (en línea punteada) añadidos.
7. Descubrir y argumentar que CH//PB.
8. Concluir que BPCH es paralelogramo.
9. Concluir que D es punto medio de HP y de BC.
10. Figura con H'P añadido y con A' (el pie de la altura desde A).
11. Descubrir que A'D es línea media en el triángulo HH'P y concluir que, en consecuencia, A'D//H'P.
12. Evocar el otro teorema de Tales (el ángulo PH'A es recto y está inscrito en una semicircunferencia --es subtendido por un diámetro).
13. Terminar concluyendo que H' está en el circuncírculo de ABC.
Segunda forma
La segunda forma de demostrar el teorema antedicho es la más conocida (y quizá la más fácil --se basa en cacería de ángulos usando arco interceptado y complementariedad). Enseguida el guión de demostración:
1.Identificación de ángulos iguales por mismo arco interceptado.
2.Focalizar el triángulo con base HH' y uno de los vértices para identificar ángulos complementarios de los ya marcados como iguales por arco interceptado.
3. Llegar a que el triángulo mencionado en 2 es isósceles.
4. Concluir la simetría.
El problema 3G
Pasemos ahora a la relación de la primera demostración con el problema 3G del estatal. En primer lugar hay que notar que quien conoce esta demostración rápidamente concluye que P está en el circuncírculo de ABC. (Una pregunta más fácil para el 3G hubiera sido "demostrar que P pertenece al circuncírculo", con lo cual se tiene una meta a lograr muy concreta.)
Notemos también que bajo el enunciado del 3G (y recordando esa primera demostración) un problema equivalente sería pedir "demostrar que D es punto medio de HP".
O bien, un poco más fácil: "demostrar que el reflejo de H respecto al punto medio D de BC pertenece al circuncírculo". (Otra variante del problema 3G sería: "demostrar que BPCH es paralelogramo".)
En fin, el lector debería notar que el problema 3G está inspirado en la demostración que estamos comentando del conocido teorema sobre el ortocentro reflejado.
Los saluda
jmd
PD: Es posible que me haya excedido en el grado de dificultad del problema 3G. Pero fue una agradable sorpresa que Alain lo resolviera. Ese sentimiento de una posible dificultad excesiva en las preguntas de examen los experimenté muchas veces cuando era profesor de la UAMCEH-UAT (antes de jubilarme). Por ejemplo en la asignatura de estadística (una disciplina que todo mundo quiere aprender pero sin pagar el precio de sus dificultades intrínsecas).
PD2: Otra solución del problema 3G (aparte de la de Alain) es la siguiente:
Sea H' el reflejo de H en el espejo de BC y H'' el reflejo de H' en el espejo de la mediatriz de BC. Es bien conocido que H' está en el circuncírculo de ABC. Lo mismo es cierto de H'' (por la simetría del círculo respecto a cualquier diámetro).
También es sabido que la doble reflexión de un punto en rectas perpendiculares equivale a la reflexión central simple repecto a su intersección (ejercicio para el lector). Por tanto H'' es el reflejo de H respecto a D.
Pero entonces H'' está en HD. Y como HH'H'' es ángulo recto (por construcción) entonces AH'' es diámetro. Se sigue que H'' está en AO. Es decir, H'' coincide con P.
Terminamos de una de las dos formas: como Alain evocando Euler o recurriendo a la propiedad del baricentro de partir de razón 2 a 3 a la mediana.