Sobre el problema 4 de la XXV OMM

Posiblemente el problema más elemental del concurso nacional correspondiente a la XXV Olimpiada de matemáticas sea el problema 4... si no fuera porque, según las reglas del concurso, la demostración del mínimo es obligada. El problema es el siguiente:

Problema 4 (de la XXVOMM): Encuentra el menor entero positivo tal que, al escribirlo en notación decimal, utiliza exactamente dos dígitos distintos y es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.

Solución comentada

Explorando un rato las implicaciones del enunciado se puede llegar relativamente rápido a que el número debe terminar en cero --porque es par y múltiplo de 5. Así que ya se tiene uno de los dígitos de que está formado. También es relativamente fácil de concluir que basta con considerar la divisibilidad entre 7, 8, 9.

El problema en este punto es decidir con cuál de esos criterios empezar el análisis. Puesto que el criterio del 7 es el menos manejable, una buena decisión es considerarlo al final. 

Con el criterio de 8 se puede inferir que la cifra de las decenas del número solamente puede ser 0,4,8. Y habría que analizar cada uno de esos casos. Si la cifra de las decenas es 4 u 8, ya tenemos el otro dígito. Pero si fuera cero, todavía nos faltaría encontrar el otro dígito.

Aquí es muy fácil solamente ver que la cifra de las decenas es 4 u 8 y no ver el cero. Pero incluso habiendo considerado ya el cero como posibilidad, persiste una trampa al razonamiento.

Pues parece más fácil continuar el análisis conociendo el otro dígito. Es decir, continuar con el análisis del 4 y el 8 --porque se podría razonar que sin el cero se logra un número menor, se tiene una cifra menos.

Pero con el criterio del 9 se puede llegar a concluir que, si la cifra de las decenas es 4 u 8, entonces el número debe tener 10 dígitos (para que su suma sea divisible entre 9). Éste es un hallazgo importante porque si encontráramos un número de menos de 10 cifras se descartarían esos dos casos.

Esto debería conducir (debería pero es muy fácil ignorar esa posibilidad, y más bajo la presión del examen) a hacer el análisis del caso en que cero es la cifra de las decenas --tratando de ver si el número puede ser de menos de 10 dígitos.

Y siguiendo esa línea de razonamiento --tratando de encontrar la posibilidad de menos dígitos--, lo natural sería considerar los casos en que el otro dígito sea el 9 (o el 6 o el 3 --pero el 9 es más prometedor porque el criterio del 9 se cumple de manera automática).

Para el análisis de la divisibilidad entre 7 lo más fácil es con la división larga generando los dígitos al momento de hacer la división empezando con el 9: entre 7 y sobran 2, etc. (aunque tiene la desventaja de que no quedaría demostrado que el número generado sea el menor).

Con este método se llega al número 9009000. (Notemos que 900 no es divisible entre 4. Por ello deben ir tres ceros al final --y ésta también es una posibilidad muy fácil de ignorar.) Tenemos entonces un número de 7 cifras y se pueden, en consecuencia, descartar los casos en que la cifra de las decenas es 4 u 8.

Si el otro dígito fuese 6, entonces necesitamos tres seises (o 6 o 9, etc). Y, de la misma manera que con el 9 buscamos un residuo 4 para que al agregar el 9 la división sea exacta, con el 6 vamos a buscar un residuo 5 para que al bajar el 6 la división sea exacta.

De esta manera logramos el número 600600 --sólo que no es divisible entre 9, pues necesitamos 3 seises (o 6 o 9, etc.). Intentando de nuevo se llega al número 6060600.

La tarea se empieza a hacer un tanto desesperante. Porque todavía falta analizar el 3. Por lo pronto, dado que hemos encontrado el número 6060600 de 7 cifras, ya no será necesario considerar los casos en que la cifra de las decenas es 4 u 8.

Ahora analicemos con el 3. Al dividir entre 7 el número de dígitos 3 y 0 --con la división larga-- eventualmente necesitamos un residuo 6 para que al bajar el 3 la división sea exacta. Después de varios intentos se llega al número 30303000.

De los que hemos encontrado el menor es el 6060600. Y se tiene ya la solución. ¿Y realmente se tiene? ¡No! ¡Porque todavía falta argumentar que no hay un número menor que el 6060600!. Y aquí es donde está el verdadero problema --si es que se quieren los 7 puntos.

Una forma de hacerlo es mediante búsqueda exhaustiva dándose cuenta que, al factorizar el dígito distinto de cero, el otro factor es un número de ceros y unos. Y notando que los ceros del final son obligados, solamente es necesario considerar para la división entre 7 los números de ceros y unos de 5 cifras --de hecho, de 4, pues el primer dígito debe ser un 1.

Lo cual sería el esfuerzo extra para aspirar a los 7 puntos. (Son 16 posibilidades y, de ésas, las únicas que cumplen la divisibilidad entre 7 son 10010, 10101 y 111111. Y ya estarían los otros 3 puntos.)

Comentarios finales

Como se ve, el problema es elemental pero no es fácil. Y menos lo es bajo la presión del tiempo. Primero está el descubrimiento del cero como cifra de las unidades (múltiplo de 2 y 5) . Luego está el descubrimiento de las posibilidades para la de las decenas (múltiplo de 8). A partir de ahí --si es que ese llegó ahí-- lo que sigue es un laberinto decisional en el que es muy fácil perderse --o desesperar y abandonar.

Notemos que esas dificultades no son todas de conocimientos, sino que algunas son afectivas y actitudinales (control del stress, paciencia, disposición para dar todo, tenacidad, confianza en sí mismo, organización sistemática de los cálculos, etc.).

A este problema, Tamaulipas le sacó 11 puntos entre los 6 integrantes de la selección. Bernardo le sacó 4, los demás uno o dos. Según el informe del comité nacional de la OMM (engargolado --atachado en pdf), el problema 4 del concurso nacional de la XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas fue el tercero más difícil --después del 3 y el 6.

Los saluda

jmd

Adjunto		Descripción	Tamaño
	engargolado11.pdf	Informe del Comité Organizador Nacional de la XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas	414.86 KB