Sentido de la estructura algebraica

En el paper Developing Katy's Algebraic Structure Sense, Hoch y Dreyfus, los autores de este reporte de investigación, someten a prueba empírica un método de enseñanza individualizada de las matemáticas que podríamos llamar "entrevistas didácticas" (teaching interviews).

Los autores usan las entrevistas didácticas para mejorar el desempeño en matemáticas de adolescentes que, si bien son buenos en la manipulación algebraica, no han adquirido el  "sentido de la estructura". Eligieron para ilustrar los resultados a Katy, una adolescente de 16 años.

Definición operativa de Sentido de la Estructura Algebraica:

• Reconocimiento de una estructura familiar en su forma más simple (Ej. Diferencia de cuadrados.)
• Manejo de términos compuestos  como entidades simples para convertir una forma compleja en una estructura familiar. (Ej. $(x-y)^2-(x+y)^2$.)
• Elección de manipulaciones algebraicas apropiadas para explotar una estructura. (Ej. Un cambio de variable.)

Estas habilidades corresponden a tres niveles de competencia en el reconocimiento de estructuras algebraicas. Si el adolescente exhibe esas habilidades entonces se dice que ha adquirido el sentido de la estructura algebraica.

Las tareas asignadas en las entrevistas didácticas

Por ejemplo, si en la ecuación $$17xy-25=13+xy$$ se pide encontrar el valor de $3xy$, el adolescente debería reconocer la ecuación como lineal y resolver en consecuencia.

En las entrevistas, ante una ecuación como la anterior, los autores le piden a los estudiantes que

• a) digan cuál es la estructura de la ecuación,
• b) planteen una ecuación con la misma estructura, y
• c) la resuelvan.

Este es el formato de las tareas que Hoch y Dreyfus ponen a sus estudiantes. Notemos que, antes de resolver (resolución de problemas), los autores solicitan una verbalización del tipo de estructura reconocida (un énfasis en el uso correcto del lenguaje) y que generen una ecuación similar (un énfasis en planteamiento o generación de problemas).

Sentido de la estructura

En opinión de los autores, una expresión algebraica o una ecuación tiene asociada una estructura la cual se puede apreciar o reconocer a través de su forma o su apariencia (componentes externas) y mediante las relaciones que establece entre cantidades, operaciones y otras estructuras (componentes internas).

El objetivo didáctico es entonces lograr que los adolescentes lleguen a reconocer la estructura de una expresión o ecuación ya sea para factorizarla o bien para resolver de acuerdo a rutinas establecidas (diferencia de cuadrados, binomio al cuadrado, regla distributiva, ecuación lineal, ecuación cuadrática).

La elección de Katy

Katy fue una de los 10 adolescentes sometidos al tratamiento de las entrevistas didácticas y los autores decidieron elegirla para su reporte por su "alto nivel de retención de habilidades aprendidas, y por ser entusiasta y altamente verbal".

Los 10 adolescentes del experimento fueron elegidos de dos grupos del highschool israelí, a los cuales se les administró un pre-test que mide el sentido de la estructura. Los 10 con desempeño más bajo se eligieron para participar en sesiones individuales (entrevista didáctica) de 45 minutos por un período de dos semanas.

En esas sesiones se les entrenó primero a verbalizar sus razonamientos ante las tareas propuestas, enfatizando el uso correcto de la terminología algebraica. Al final de esas sesiones se les administró un post-test y, después de varios meses, un post-test diferido. El resultado que reportan los autores es positivo.

En este post quisiera enfatizar que los autores no se quedan solamente en la interpretación de los errores adolescentes en matemáticas escolares. Interpretan los errores dentro del marco interpretativo del sentido de la estructura, pero van más allá: sus tareas pre-diseñadas a que sometieron a los adolescentes en el estudio constituyen también una instancia de una propuesta didáctica para enseñar el sentido de la estructura.

Reconocimiento de la estructura

Se puede decir que el sentido de la estructura es una habilidad de reconocimiento (como cuando alguien reconoce a un amigo entre la multitud). Y esto quiere decir que ya lo conoce y, en el momento en que lo vuelve a ver, lo reconoce. Es decir, trae a presencia un ítem de su base de conocimiento y lo asocia con la imagen que está viendo.

Una de las tareas más difíciles que los autores le plantearon a Katy fue: resolver para $x$ la ecuación $$(2x^2-x)^2+2(2x^2-x)-35=0$$ . Katy la clasificó correctamente como teniendo la estructura de la ecuación cuadrática (gracias al entrenamiento de las anteriores entrevistas didácticas).

Entrevistador: ¿Y cómo resolverías la ecuación para $x$?
Katy: Eh...
E: Yo tampoco sé. ¿Podrías pensarla de otra forma?
K: (Se queda pensando)
E: Si usara $t$...
I: Estoy de acuerdo en que necesitas una sustitución ¿cuál sería $t$
K: (Continua pensando.) ¡Oh! No lo había visto. Dos $x$ cuadrada menos $x$ es $t$.

Otra tarea fue: Factorizar $$(x+3)^4-(x-3)^4$$. Katy factorizó correctamente la expresión reconociendo la estructura de la diferencia de cuadrados. Después de ello, el entrevistador le solicitó a Katy un ejemplo parecido que pudiera ser difícil para sus amigos resolver. Katy, después de pensar un rato, generó el ejemplo $$x^2(2x+4)^2-64$$ y dijo: "es imposible hacerlo más difícil".

Ejemplos de reconocimiento de una estructura (por jmd)

Factorizar $60a^2+37a-6$

En este caso se trata de la estructura de una función cuadrática, pero no se reconoce o es muy difícil de reconocer la estructura de algún producto notable.

Por ello, lo más fácil es aplicar la fórmula general (optando por la eficacia y olvidando la elegancia). Después de algunos cálculos se obtiene que las raíces de la ecuación asociada son 2/15 y -3/4. Y, de aquí, la factorización $(15a-2)(4a+3)$

(Aunque si estuviera en un libro de texto en el capítulo de productos notables, se puede maliciar que es por Vieta. La clave estaría en descubrir que 37 = 45-8 = 15(3)-4(2) --y con esto se lograría la factorización de Vieta $(15a-2)(4a+3)$. Pero ello es extremadamente difícil de ver.)

Notemos que la estructura de la ecuación cuadrática, una vez reconocida, trae consigo también los métodos de solución. En este caso no se pudo reconocer ningún producto notable y por ello lo mejor es la aplicación de la fórmula general.

Pero si se pidiera factorizar $x^2+x+1/4$ entonces es relativamente fácil reconocer el binomio al cuadrado y la factorización es casi inmediata. En este caso, la fórmula general sería menos eficiente.

En algunos casos hay que hacer un trabajo previo de manipulación algebraica para llevar a la expresión a una estructura reconocible. Por ejemplo, si se pidiera

factorizar $5a^3-45a$,

se puede sospechar que es una diferencia de cuadrados. Para comprobarlo basta factorizar $5a$ y la estructura se hace evidente: $$5a^3-45a=5a(a^2-9)=5a(a-3)(a+3)$$.

Un ejemplo final tipo olimpiada (aunque muy básico):

Demostrar que cualquier entero positivo impar puede escribirse como la diferencia de dos cuadrados perfectos.

• Primero hay que saber que un impar es el siguiente (o el anterior) de un par, es decir, es de la forma $2n+1$.
• Y una vez escrito de esta manera se tiene que evocar (reconocimiento de una estructura familiar) que $2n+1$ es una parte de la expansión de $(n+1)^2$, es decir, una parte de $n^2+2n+1$.
• Combinando las dos ideas tenemos $(n+1)^2=n^2+2n+1$. Y ya solamente es cuestión de ver que aquí está la demostración reacomodando los términos: $(n+1)^2-n^2=2n+1$.

Epílogo

Digamos para finalizar que, contrario a una opinión muy difundida, es obligatorio que el adolescente memorice las estructuras básicas de los productos notables y las ecuaciones lineales y cuadráticas. De otra manera no sabrá reconocerlas. Después hay que hacer muchos ejercicios de reforzamiento como las tareas que los autores asignaron a sus entrevistados.

Y para entrenarse en olimpiada las estructuras que el adolescente debe conocer son muchísimas más que las del álgebra escolar...

Los saluda

jmd