Un problema de geometría --de Wong Yan Loi

En su libro Introduction to geometry, Wong Yan Loi presenta el problema motivo de este post (y lo resuelve con geometría analítica). La redacción del enunciado está aquí ligeramente modificada y a la solución le he añadido explicaciones que Wong Yan Loi se ahorra. (Me gustaría ver una solución sintética de este problema. Si alguien la encuentra sería una buena obra que la compartiera con los lectores de MaTeTaM.)

Sea $l$ una recta fuera del círculo $C$. Tómese cualquier punto $T$ en $l$ y sean $TA$ y $TB$ las dos tangentes a $C$ desde $T$. Demostrar que $AB$ pasa por un punto fijo (independiente de la posición de $T$ en $l$).

Solución (con geometría analítica)

Sean $O$ el centro del círculo y $r$ su radio. Elijamos $O$ como el origen de coordenadas y el eje $Y$ paralelo a la recta $l$. De esta manera, la distancia de $l$ al origen es una constante $c$. Así, cualquier punto $T$ sobre la recta $l$ tiene como abscisa la constante $c$. Supongamos que su ordenada sea $t$.

Queremos la ecuación de la recta $AB$ --para ver si se puede conjeturar el punto fijo. Pero no tenemos las coordenadas de los puntos de tangencia $A,B$. El siguiente truco de Wong Yan Loi (posiblemente estándar para los expertos) para calcular la ecuación de $AB$ me parece genial:

Para calcular la ecuación de $AB$ observemos que si $(x_A,y_A)$ son las cordenadas de $A$, entonces la ecuación de la tangente por $A$ es fácil de calcular.

Pues su pendiente es la inversa negativa que la de $OA$, es decir, es $-x_A/y_A$. De aquí que la ecuación de $AT$ sea
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{-x_A}{y_A}$$
o, ya simplificada,
$$x_Ax+y_Ay=r^2$$
Pero, puesto que esta tangente pasa por $T$, entonces las coordenadas de $T$ satisfacen su ecuación. Es decir, se cumple que $x_Ac+y_At=r^2$.

Pero esto significa que el punto $A$ pertenece a la recta $cx+ty=r^2$. De manera similar, el punto $B$ pertenece a esa misma recta $cx+ty=r^2$.

Pero por $A$ y $B$ pasa solamente una recta. Por tanto la ecuación de la cuerda $AB$ es $cx+ty=r^2$. Y aquí es fácil ver que, como $c$ es constante, el punto fijo buscado es $(r^2/c,0)$.

Los saluda
jmd