Del libro de R. Bulajich y J.A. Gómez Ortega (Geometría)y que llevé ese primer día al taller elegí el
Problema 2.Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC se construyen los equiláteros ABC’ y ACB’, los segmentos BB’ y CC’ son iguales. Demostrarlo.
Comentarios previos:
El problema es clásico, y es elemental pero difícil. Lo que me gustaría comentar antes de continuar con la solución es que la configuración clave (que “hace la luz” y que permite avanzar hacia la solución) hay que aislarla de la figura completa.
Quiero decir, la primera vez que uno aborda este problema la configuración clave permanece oculta a nuestra vista por largo tiempo –hasta que ve uno la solución o alguna sugerencia.
La sugerencia puede venir en la forma: “focaliza los triángulos ABB’ y ACC’…” La moraleja es entonces que el ojo del aprendiz de la geometría debe entrenarse…
Cuando el texto de geometría dice “claramente los triángulos ABB’ y AC’C son congruentes” lo que el aprendiz debe interpretar es un llamado a ver (comprobar) la veracidad de eso que se dice “claro”
En este caso el método de congruencia de triángulos está sugerido por la tesis de igualdad de los segmentos (el de buscar isósceles se descarta rápidamente…).
Si uno ya se ha formado la hipótesis de que la congruencia de triángulos es el método adecuado para el problema, lo que sigue es tratar de comprobarla. Y en esa indagación de prueba de hipótesis debe surgir algo… En ocasiones es conveniente un método visual: imaginar que uno de los triángulos gira y se acomoda sobre el otro –a final de cuentas ese el significado intuitivo de congruencia de triángulos…
¿Puede el lector imaginar el triángulo ACC’ girando contra reloj hasta colocarse sobre el ABB’? Bueno, lo de “colocarse sobre” requiere una comprobación aparte… Véase: AC debe colocarse sobre el AB’ (¿se puede?), AC’ sobre AB (¿es posible?) y C’C sobre BB’.
Esto último no podemos comprobarlo mediante argumentos basados en los datos directamente pero… Ahora faltaría ver el ángulo C’AC ¿es igual al BAB’?
Después que el aprendiz siguió este orden de ideas, lo que seguiría es ponerlo por escrito:
Demostración:
- AB = AB’, por ser ABB’ equilátero,
- AC’ = AB, por ser ABB’ equilátero,
- y el ángulo C’AC es igual al BAB’ porque ambos miden X+60.
De aquí, por el criterio LAL, los triángulos ABB’ y AC´C son congruentes y el resultado se sigue.
Comentarios de clausura (al problema 2):
Se recomienda al aprendiz reproducir el argumento ante su profesor o ante alguien que sí esté en condiciones de evaluarlo justamente.
Esta actividad puede parecer redundante pero es muy útil en al menos dos aspectos: es un indicador de que se comprendió a cabalidad el argumento (y así se pone a prueba la propia comprensión), pero si no se logró la comprensión cabal entonces la exposición ante alguien que pueda evaluar el argumento es una oportunidad para la comprensión, para afinar los detalles,…