En el siguiente interactivo de geogebra se presentan dos triángulos en perspectiva, pero con $AB$ y $A'B'$ paralelas, lo que hace imposible la existencia del punto $ P $. Mueve los triángulos, estudia la recta $QR$ y contesta:
¿Qué se puede decir de la recta QR?
Desargues con Paralelas
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Después de estudiar la figura se pude observar que la recta $QR$ siempre es paralela a los lados $AB$ y $A'B'$. Resulta, para la sorpresa de pocos, que esta observación sí es cierta.
Ahora bien, en el plano Euclideano este es un resultado diferente al enunciado de Desargues que acabamos de modificar. ¿Qué les parece?¿Son resultados muy distintos?¿Necesitan enunciarse por separado?
Si intentaramos enunciarlo en un mismo teorema tendríamos que escribir algo así:
Sean $ABC$ y $A'B'C'$ [...] , entonces si existen los siguientes puntos serán colineales.
[...]
De no existir uno de los puntos pero sí los otros dos ocurriría que [...]
Lo cuál haría un teorema más completo. Pero aún nos faltaría agregar el caso en que dos de los puntos no existen.. Entonces, recordar el teorema de Desargues sería una cosa muy latosa. Otra alternativa sería escribir tres teoremas, teorema de Desargues A, B y C, pero tampoco es tan satisfactorio.
Entonces, la geometría proyectiva es la que nos ayudará a escribir estos tres teoremas en uno sólo. De hecho, el teorema de Desargues, tal como está escrito al principio, es un enunciado correcto en la geometría proyectiva. Pero, ¿cómo es esto posible?
En la geometría proyectiva se cree que el comportamiento de las rectas paralelas es idéntico al de dos rectas que se intersectan, pero en lugar de intersectarse en un punto a nuestro alcance, es como si se intersectasen en un punto al infinito.