Observa la siguiente animación, cuando se mueve el punto de intersección al infinito las dos rectas parecen cada vez más y más dos rectas paralelas, de ahí que se ocurre decir que dos rectas paralelas se intersectan en un punto al infinito.
Punto al infinito |
Con esta idea, de que dos rectas paralelas se intersectan en un punto al infinito, es que se le puede dar sentido al teorema de Desargues aún cuando las rectas $AB$ y $A'B'$ son paralelas. En este caso se tendrá que el punto $ P $ es el punto al infinto donde se intersectan $AB$ y $A'B'$.
Pero entonces, ¿qué significará que $ P $, $ Q $ y $ R $ son colineales? Pues si lo pensamos un rato, el significado que más se acomoda para darle sentido a Desargues es que $QR$ sea una recta paralela a $AB$ (consecuentemente a $A'B'$). Pero preguntémonos esto, fuera del teorema de Desargues, es decir, ¿qué significa que una recta $ L $ ( $QR$) pase por $ P $? Donde, $P$ es el punto al infinito de intersección de dos rectas paralelas.
Observa la siguiente animación y nota que la recta $ L $ (en rojo) se transforma en paralela cuando se mueve $ P $ hacia el infinito.
Recta que pasa por el infinito
Created with GeoGebra
Con esto, el teorema de desargues toma sentido cuando los puntos en cuestión están en el infinito. Bueno, esta existencia de puntos al finito y paralelas intersectándose es lo que define a la geometría proyectiva. No es más que una extención del plano que conocemos con puntos al infinito.
Bueno, les queda como ejercicio pensar en esta extención del plano con puntos al infinito, y tratar de escribir el teorema de desargues cuando permitimos que el punto donde concurren $AA'$, $BB'$ y $CC'$ es un punto al infinito.