El teorema binomial o binomio de Newton especifica la expansión de cualquier potencia de un binomio, es decir, la expansión de $(a+b)^m.$ De acuerdo a este teorema, el primer término es $a^m$, el segundo es $ma^{m-1}b$, y en cada término adicional la potencia de $a$ disminuye en 1 y la de $b$ aumenta en 1. El teorema es una consecuencia de la regla distributiva y se puede demostrar por inducción.
La regla de expansión que se sigue del teorema es: el coeficiente del término siguiente se calcula a partir del actual multiplicando el coeficiente por el exponente de $a$, y dividiendo el resultado entre la posición. Ejemplo: el coeficiente del siguiente término de $ma^{m-1}b$ es $m(m-1)/2.$
La regla es fácil de retener en la memoria después de practicar en unos cuantos ejemplos: $$(a+b)^5=a^5+5a^4b+(20/2)a^3b^2+(30/3)a^2b^3+(20/4)ab^4+b^5$$
Los coeficientes también pueden leerse en el Triángulo de Pascal. La importancia para la combinatoria es que los ceoficentes cuentan el número de subconjuntos de tamaño $k$ (en el término $k$) tomados de un conjunto de tamaño $m$. El binomio de Newton es la función generatriz que cuenta el tamaño de esos subconjuntos.