Primero observemos que cuando a=b=c=0 se tiene que P(0)+P(0)+P(0)=2P(0), de donde se concluye que P(0)=0. De esto es claro que P(x) no puede tener término de grado cero.
Ahora bien, cuando b=c=0 y a variable, se tiene que
P(a−0)+P(0−0)+P(0−a)=2P(a+0+0), es decir,
P(a)+P(−a)=2P(a), de donde se sigue que
P(a)=P(−a). Lo anterior significa que
P(x) debe de ser una función par, que en el caso de polinomios esto se traduce a que
P(x) sólo puede tener coeficiente no cero en los términos de grado par, i.e
P(x)=a2x2+a4x4+...+a2nx2n.
Estudiemos que pasa cuando sustituimos a=3x, b=6x y c=−2x (que claramente satisface que ab+bc+ca=0),
P(−3x)+P(8x)+P(−5x)=2P(7x)
Lo cual significa que
(−3)2i+(8)2i+(−5)2i=2(7)2i para todo 0<i<n
Dividiendo entre 72i se obtiene la siguiente igualdad,
(3/7)2i+(5/7)2i=2−(8/7)2i
Esta última igualdad no se puede satisfacer para i's muy grandes, pues el término de la izquierda siempre es positivo mientras que el término de la derecha puede ser negativo. De hecho, el término de la izquierda es decreciente y tiende a menos infinito cuando i tiende a infinito, por lo que existe i0>0 tal que el término de la derecha es negativo para todo i>=i0.
No es muy difícil de calcular el número i0, basta con ir aumentando los valores de i0 sucesivamente hasta encontrar el valor que hace al término 2−(8/7)2i0 negativo. El primero valor donde lo anterior sucede es i0=3, pues
2−(8/7)6<0⟺2∗76<86⟺ 2∗(49)3<(23)6⟸2∗(50)3<218⟺ 24∗56<218⟺56<214⟺53<27⟺125<128
Entonces nuestro polinomio no puede tener términos de grado mayor o igual a 6, es decir, el polinomio debe tener la forma P(x)=Ax2+Bx4.
Ahora bien, como cualquier combinación lineal de polinomios que satisfagan las condiciones del problema es solución, bastará checar que las funciones x2 y x4 satisfacen las condiciones para concluir que las soluciones, al sistema planteado en el problema, son los polinomios de la forma P(x)=Ax2+Bx4.
Sean a, b y c tres números reales cuales quiera, entonces
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2= (a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)= 2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)= 2(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)−6(ab+bc+ca)= 2(a+b+c)2−6(ab+bc+ca)
Entonces, cuando ab+bc+ca=0 se obtiene lo deseado.
Realizaremos un procedimiento muy similar al caso anterior, sólo que aquí las operaciones serán mucho más complicadas.
(a−b)4+(b−c)4+(c−a)4= (a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4)+(b4−4b3c+6b2c2−4bc3+c4) +(c4−4c3a+6c2a2−4ca3+a4)=
Mientras que,
2(a+b+c)4=
De la resta resulta que
(a−b)4+(b−c)4+(c−a)4−2(a+b+c)4=
Que es igual a,
−6(ab+bc+ca)((ab+bc+ca)+2(a2+b2+c2))
De donde se concluye lo deseado.